Question

12．如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M（0，1）處不斷向+y方向發(fā)射出大量質(zhì)量為m、帶電荷量為-q的粒子，粒子的初速度大小廣泛分布于零到v₀之間．已知這些粒子此后所經(jīng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向里，所有粒子都沿+x方向穿過b區(qū)域，都沿-y方向通過點(diǎn)N（3，0）．
（1）通過計(jì)算，求出符合要求的全部磁場(chǎng)范圍的最小面積；
（2）在所給的坐標(biāo)系中畫出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡示意圖．
（3）若其中速度為k₁v₀和k₂v₀的兩個(gè)粒子同時(shí)到達(dá)N點(diǎn)（1＞k₁＞k₂），求二者發(fā)射的時(shí)間差．

Answer 1

分析 帶電粒子沿y軸正方向射入，在磁場(chǎng)的洛倫茲力作用下發(fā)生偏轉(zhuǎn)，然后所以粒子沿+x方向經(jīng)過b區(qū)域，則磁場(chǎng)的右邊界由數(shù)學(xué)關(guān)系推導(dǎo)出與R無關(guān)，而是一條直線．那么磁場(chǎng)的左邊界則是一段圓弧，其半徑由洛倫茲力提供向心力公式求解得．由于對(duì)稱，則可求出磁場(chǎng)的最小面積．兩種粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間是相等，它們發(fā)射的時(shí)間差是因速度不同導(dǎo)致的．

解答 解：（1）在a區(qū)域，設(shè)任一速度為v的粒子偏轉(zhuǎn)90°后從（x，y）離開磁場(chǎng)，
由幾何關(guān)系有x=R，$y=R+\frac{{m{v_0}}}{qB}$，
得：$y=x+\frac{{m{v_0}}}{qB}$，
上式與R無關(guān)，說明磁場(chǎng)右邊界是一條直線，左邊界是速度為v₀的粒子的軌跡為：$q{v_0}B=m\frac{{{v_0}^2}}{R_0}$，${R_0}=\frac{{m{v_0}}}{qB}$
此后粒子均沿+x方向穿過b區(qū)域，進(jìn)入c區(qū)域，由對(duì)稱性知，其磁場(chǎng)區(qū)域如圖．
磁場(chǎng)的面積為：$S=2（\frac{1}{4}π{R_0}^2-\frac{1}{2}{R_0}^2）=（\frac{π}{2}-1）\frac{{{m^2}{v_0}^2}}{{{q^2}{B^2}}}$
（2）粒子運(yùn)動(dòng)軌跡示意圖如圖所示（畫出其中一條即可）
（3）速度為k₁v₀的粒子在a區(qū)域磁場(chǎng)的時(shí)間為：${t_1}=\frac{πm}{2qB}$
兩個(gè)階段的直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間共為：${t}_{2}=\frac{\frac{3m{v}_{0}}{qB}-\frac{2m{k}_{1}{v}_{0}}{qB}}{{k}_{1}{v}_{0}}$=$（\frac{3}{{k}_{1}-2}）\frac{m}{qB}$
在c區(qū)域磁場(chǎng)的時(shí)間為：${t_3}=\frac{πm}{2qB}$
所以這兩個(gè)粒子的發(fā)射時(shí)間差只與t₂有關(guān)，同理可得速度為k₂v₀的粒子在直線運(yùn)動(dòng)階段的時(shí)間為：
${t}_{2}′=（\frac{3}{{k}_{2}}-2）•\frac{m}{qB}$△t=t₂′-t₂=$\frac{3（{k}_{1}-{k}_{2}）m}{{k}_{1}{k}_{2}qB}$
答：（1）通過計(jì)算，求出符合要求的全部磁場(chǎng)范圍的最小面積是$（\frac{π}{2}-1）\frac{{m}^{2}{{v}_{0}}^{2}}{{q}^{2}{B}^{2}}$；
（2）在所給的坐標(biāo)系中畫出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡示意圖如圖．
（3）二者發(fā)射的時(shí)間差是$\frac{3（{k}_{1}-{k}_{2}）m}{{k}_{1}{k}_{2}qB}$．

點(diǎn)評(píng) 利用數(shù)學(xué)表達(dá)式，導(dǎo)出磁場(chǎng)右邊界的函數(shù)關(guān)系式．同時(shí)相同粒子不同速度在磁場(chǎng)中的時(shí)間是相等，由于速度的不同，導(dǎo)致直線運(yùn)動(dòng)中時(shí)間不一