Question

12．如圖所示，一個(gè)質(zhì)量均勻分布的半徑為R的球體對(duì)球外質(zhì)點(diǎn)P的萬(wàn)有引力為F，如果在球體中央挖去半徑為r的一部分球體，且r=$\frac{R}{2}$，則原球體剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)P的萬(wàn)有引力變?yōu)槎嗌伲?

Answer 1

分析 先根據(jù)體積公式V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$得到挖去部分和原來(lái)球體的體積關(guān)系，根據(jù)m=ρV得到質(zhì)量關(guān)系；然后設(shè)想先將球補(bǔ)上，萬(wàn)有引力為兩個(gè)部分的引力之和．

解答 解：設(shè)球體質(zhì)量為M，質(zhì)點(diǎn)P的質(zhì)量為m，質(zhì)點(diǎn)P與球心間距為L(zhǎng)；
在球體中央挖去半徑為$\frac{R}{2}$的一部分球體，根據(jù)體積公式V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$，挖去部分的體積為原來(lái)體積的$\frac{1}{8}$，故挖去質(zhì)量為總質(zhì)量的$\frac{1}{8}$；
設(shè)想先將球補(bǔ)上，萬(wàn)有引力為：
F=G$\frac{Mm}{{L}^{2}}$        ①
該引力為兩個(gè)部分的萬(wàn)有引力之和，故為：
F=G$\frac{（\frac{1}{8}M）m}{{L}^{2}}$+F′②
聯(lián)立解得：
F′=$\frac{7}{8}F$
答：原球體剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)P的萬(wàn)有引力變?yōu)?\frac{7}{8}F$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確萬(wàn)有引力定律的適用條件，然后將球?qū)�質(zhì)點(diǎn)P的引力看作是各個(gè)部分對(duì)P的引力的矢量和，結(jié)合萬(wàn)有引力定律列式求解即可．