Question

一個豎直放置的光滑圓環(huán)，半徑為R，c、e、b、d分別是其水平直徑和豎直直徑的端點．圓環(huán)與一個光滑斜軌相接，如圖所示．一個小球從與d點高度相等的a點從斜軌上無初速下滑．試求：

   （1） 過b點時，對軌道的壓力N_b多大？

   （2） 小球能否過d點，如能，在d點對軌道壓力N_d多大？如不能，小球于何處離開圓環(huán)？

Answer 1

（1）因為                      

所以     

                       

       

（2）小球如能沿圓環(huán)內(nèi)壁滑動到d點，表明小球在d點仍在做圓周運動，則

 

由上式可見，G是恒量，隨著V_d的減小，N_d減小。

當(dāng)Nd已經(jīng)減小到零（表示小球剛能到d點，但球與環(huán)頂已是接觸而無擠壓，處于“若即若離”狀態(tài)）時,是能過d點的最小速度。如小球速度低于這個速度，

就不可能沿圓環(huán)到達(dá)d點．這就表明小球如能到達(dá)d點，其機(jī)械能至少應(yīng)是

但是，小球在a點出發(fā)的機(jī)械能僅有

因此小球不可能到達(dá)d點．     

因此，，即小球從b滑到c點時仍有沿切線向上的速度 ，所以小球一

定是在c、d之間的某點s離開圓環(huán)的．設(shè)半徑Os與豎直方向夾α角，

則由圖可見，小球高度。根據(jù)機(jī)械能守恒定律小球到達(dá)S點的速度V_S應(yīng)符合：

沿半徑方向的分力G₁提供向心力，即亦即

                                     

小球從s點開始脫離圓環(huán)，所以圓環(huán)對小球已無彈力，僅由重力G

將①式代入②式得     mgcosα=2mg（1-cosα）   

cosα=2/3                     

                   

所以，小球到達(dá)高度為5R/3的s點開始脫離圓環(huán)，做斜上拋運動