Question

4．如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy平面的y軸左側(cè)區(qū)域，存在方向沿y軸負(fù)向的勻強(qiáng)電場(chǎng)（y軸為其右邊界），場(chǎng)強(qiáng)E=1.0×⁴V/m．在y軸的右側(cè)等腰三角形OMN區(qū)域內(nèi)，存在一磁感應(yīng)強(qiáng)度B=6.0T、方向垂直xOy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其右邊界MN與y軸平行，且間距d=5.0m，∠NOM=120°，一質(zhì)量m=1.0×10^-8kg，電荷量q=1.6×10^-6C的粒子，從電場(chǎng)中的P（-$\frac{6}{5}$$\sqrt{3}$，0.6）點(diǎn)以初速度v₀沿x軸正向拋出，剛好經(jīng)坐標(biāo)原點(diǎn)O以與x軸成30°角的方向射入磁場(chǎng)，不計(jì)粒子重力．
（1）求粒子從P點(diǎn)拋出時(shí)的初速度v₀的大小．
（2）若粒子從第二象限某位置沿x軸正向拋出后，均能經(jīng)坐標(biāo)原點(diǎn)O沿與x軸成30°角的方向射入磁場(chǎng)，再?gòu)拇艌?chǎng)區(qū)以內(nèi)與邊界垂直的方向射出，求粒子拋出的所有可能位置．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)粒子經(jīng)過O點(diǎn)時(shí)速度為v，應(yīng)有v₀=v•cos30°．根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合，可求解v₀．
（2）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)洛倫茲力提供向心力，qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，可得到y(tǒng)與R的關(guān)系式．粒子經(jīng)坐標(biāo)原點(diǎn)O時(shí)速度偏向角為30°，可得到tan30°=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{\frac{1}{2}{v}_{y}t}{\frac{1}{2}{v}_{0}t}$=$\frac{2y}{x}$，從而得出粒子拋出位置的坐標(biāo)必滿足的方程．據(jù)題粒子磁場(chǎng)邊界垂直射出有兩種情況：一是從邊界OM垂直射出，一是從邊界OM垂直射出，由幾何關(guān)系得到R的值，從而可得到粒子拋出的所有可能位置．

解答 解：（1）設(shè)粒子經(jīng)過O點(diǎn)時(shí)速度為v，豎直分速度為v_y，由題意可知：
v₀=v•cos30°…①
${v}_{y}^{2}$=2ay…②
a=$\frac{qE}{m}$…③
v=2v_y …⑤
由②③④得：v=$\sqrt{\frac{8Eqy}{m}}$…⑤
所以由①得：v₀=$\sqrt{\frac{8Eqy}{m}}$•cos30°=$\sqrt{\frac{8×1{0}^{4}×1.6×1{0}^{-6}×0.6}{1{0}^{-8}}}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2.4×10³m/s
（2）設(shè)粒子在電場(chǎng)中的拋出位置為（x、y），射入磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，根據(jù)洛倫茲力提供向心力，得：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$…⑥
由⑤⑥可得：y=$\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{8mE}$=$\frac{1.6×1{0}^{-6}×{6}^{2}}{8×1{0}^{-8}×1{0}^{4}}{R}^{2}$=7.2×10^-2R²…⑦
因粒子經(jīng)坐標(biāo)原點(diǎn)O時(shí)速度偏向角為30°，則 tan30°=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{\frac{1}{2}{v}_{y}t}{\frac{1}{2}{v}_{0}t}$=$\frac{2y}{x}$，即粒子拋出位置的坐標(biāo)必滿足方程：
y=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$x…⑧
于是得拋出位置的橫坐標(biāo)為：x=-$\frac{72}{5}$$\sqrt{3}$×10^-2R²…⑨
分兩種情況討論：
Ⅰ、當(dāng)粒子從邊界MN垂直射出磁場(chǎng)時(shí)：
R=2d=10m
將R值代入⑨式得拋出位置的橫坐標(biāo)：x=-$\frac{72}{5}\sqrt{3}$m
Ⅱ、當(dāng)粒子從邊界OM垂直射出磁場(chǎng)，且運(yùn)動(dòng)軌跡恰與邊界MN相切，由幾何知識(shí)求得：
R=$\frac{2d}{3}$=$\frac{10}{3}$m
將R值代入⑨式得拋出位置的橫坐標(biāo)：x=-$\frac{8}{5}\sqrt{3}$m
綜上所得，要使粒子從磁場(chǎng)邊界垂直射出，粒子拋出的位置必須在直線 y=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$x上，區(qū)間范圍為：x=-$\frac{72}{5}\sqrt{3}$m或-$\frac{8}{5}\sqrt{3}$m≤x＜0．
答：（1）粒子從P點(diǎn)拋出時(shí)的初速度v₀的大小是2.4×10³m/s．
（2）要使粒子從磁場(chǎng)邊界垂直射出，粒子拋出的位置必須在直線 y=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$x上，區(qū)間范圍為：x=-$\frac{72}{5}\sqrt{3}$m或-$\frac{8}{5}\sqrt{3}$m≤x＜0．

點(diǎn)評(píng) 粒子在電場(chǎng)中類平拋運(yùn)動(dòng)研究的方法是運(yùn)動(dòng)的分解法，在磁場(chǎng)中要明確洛倫茲力提供向心力，運(yùn)用幾何知識(shí)得到軌跡半徑，關(guān)鍵要能運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)得到拋出位置坐標(biāo)的參數(shù)方程．