Question

2．水上滑梯可簡(jiǎn)化成如圖所示的模型：傾角θ=37°的滑到AB和光滑圓弧滑道BC在B點(diǎn)相切連接，圓弧末端C點(diǎn)切線水平，C點(diǎn)到水面的距離h=2m，頂點(diǎn)A距水面的高度H=12m，點(diǎn)A、B的高度差H_AB=9m，一質(zhì)量m=50kg的人從滑道起點(diǎn)A點(diǎn)無(wú)初速滑下，人與滑道AB間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.25，（取重力加速度g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，人在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中可視為質(zhì)點(diǎn)）
（1）求人從點(diǎn)A滑到C點(diǎn)的過(guò)程中克服摩擦力所做的功；
（2）求人在圓弧滑道末端C點(diǎn)時(shí)對(duì)滑道的壓力；
（3）現(xiàn)沿BA方向移動(dòng)圓弧滑道，調(diào)節(jié)圓弧滑道與斜滑道AB相切的位置，使人從滑梯平拋到水面的水平位置最大，求圓弧滑道與AB滑道的相切點(diǎn)B′到A點(diǎn)的距離．

Answer 1

分析 （1）由于圓弧滑道BC光滑，摩擦力在AB滑道才對(duì)人做功，可以利用W=FXcosθ求解；
（2）從A滑到C的過(guò)程，由動(dòng)能定理可得在C點(diǎn)的速度，再根據(jù)牛頓第二定律求解人受的支持力；
（3）由功能關(guān)系和平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律有結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)可求圓弧滑道與AB滑道的相切點(diǎn)B′到A點(diǎn)的距離．

解答 解：（1）摩擦力在AB滑道才對(duì)人做功，所以有：W_f=-μmgcosθ•$\frac{{H}_{AB}}{sinθ}$=-1500J，
故人從A滑到C的過(guò)程中克服摩擦力所做的功為1500J；
（2）從A滑到C的過(guò)程，由動(dòng)能定理可得：mg（H-h）-W_f=$\frac{1}{2}$mv_c²
根據(jù)牛頓第二定律得：N-mg=m$\frac{{v}_{c}^{2}}{r}$
又由幾何關(guān)系知：r-rcos37°=1
聯(lián)立可解得：N=1900N
由牛頓第三定律可知壓力：N'=N=1900N．
（3）設(shè)B′點(diǎn)到A點(diǎn)的距離為s，人在圓弧軌道末端的高度差為：h_AC=ssinθ+H_BC，圓弧軌道末端到水平面的距離為：H-h_AC
由功能關(guān)系和平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律有：
據(jù)功能關(guān)系得：mgh_AC-μmgscosθ=$\frac{1}{2}$mv²
豎直方向上：H-h_AC=$\frac{1}{2}$gt²
水平方向上：x=vt
聯(lián)立解得：x=$\sqrt{\frac{（8s+20）（11-0.6s）}{5}}$
由一元二次方程的性質(zhì)可知：當(dāng)s=-$\frac{2a}$時(shí)，平拋的水平位移x由最大值
解得：s=$\frac{95}{12}$m=7.9m
答：（1）人從A滑到C的過(guò)程中克服摩擦力所做的功為1500J；
（2）人在圓弧滑道末端C點(diǎn)時(shí)對(duì)滑道的壓力為1900N；
（3）圓弧滑道與AB滑道的相切點(diǎn)B′到A點(diǎn)的距離為7.9m．

點(diǎn)評(píng) 解題的關(guān)鍵是利用求總功的思路求合力的功，注意計(jì)算摩擦力的正壓力不等于重力，很多學(xué)生易錯(cuò)在這里．利用數(shù)學(xué)知識(shí)求極值也是解答此題的關(guān)鍵．