Question

14．如圖所示，在直角坐標(biāo)系XOY的第一象限內(nèi)有垂直于坐標(biāo)平面向外的矩形有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的左邊界與Y軸重合，右邊界如圖中虛線所示．在坐標(biāo)系的三四象限內(nèi)有平行于坐標(biāo)平面、與X軸負(fù)方向成60°角斜向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E．一質(zhì)量為m，電荷量為+q的粒子以速度v₀從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿y軸正方向出發(fā)，經(jīng)磁場(chǎng)作用后偏轉(zhuǎn)，粒子飛出磁場(chǎng)區(qū)域經(jīng)過(guò)x軸上的b點(diǎn)，此時(shí)速度方向與x軸正方向的夾角為30°，粒子隨后進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)中，恰好通過(guò)b點(diǎn)正下方的c點(diǎn)．已知O、b兩點(diǎn)間距為L(zhǎng)，粒子的重力不計(jì)，試求：
（1）矩形勻強(qiáng)磁場(chǎng)的寬度d．
（2）帶電粒子從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到c點(diǎn)的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，作出其運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何關(guān)系求出軌跡半徑，即可求得矩形勻強(qiáng)磁場(chǎng)的寬度d．
（2）帶電粒子的運(yùn)動(dòng)由勻速圓周運(yùn)動(dòng)、勻速直線運(yùn)動(dòng)和類平拋運(yùn)動(dòng)三部分組成．在磁場(chǎng)中根據(jù)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角求時(shí)間．粒子在電場(chǎng)中做類似平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式求解時(shí)間

解答 解：（1）做出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖中實(shí)線所示．設(shè)帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)半徑為R，
由圖可知 R+$\frac{R}{sin30°}$=L   
解得：R=$\frac{1}{3}L$    ①
由圖形可知磁場(chǎng)寬度為  d=R+Rsin30°=$\frac{1}{2}$L   ②
（2）帶電粒子的運(yùn)動(dòng)由勻速圓周運(yùn)動(dòng)、勻速直線運(yùn)動(dòng)和類平拋運(yùn)動(dòng)三部分組成，運(yùn)動(dòng)時(shí)間分別是t₁、t₂、t₃．設(shè)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T：
  t₁=$\frac{1}{3}$T=$\frac{1}{3}•\frac{2πR}{{v}_{0}}$=$\frac{2πL}{9{v}_{0}}$    ③
  t₂=$\frac{R}{{v}_{0}tan30°}$=$\frac{\sqrt{3}L}{3{v}_{0}}$     ④
粒子進(jìn)入電場(chǎng)做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)從b到c垂直電場(chǎng)方向的位移為s₁，沿電場(chǎng)方向的位移為s₂，粒子運(yùn)動(dòng)的加速度為a，則有：
  s₁=v₀t₃   ⑤
  s₂=$\frac{1}{2}a{t}_{3}^{2}$    ⑥
 a=$\frac{qE}{m}$    ⑦
又 $\frac{{s}_{2}}{{s}_{1}}$=tan60°   ⑧
求得：t₃=$\frac{2\sqrt{3}m{v}_{0}}{qE}$    ⑨
所以得出：t=$\frac{（2π+3\sqrt{3}）L}{9{v}_{0}}$+$\frac{2\sqrt{3}m{v}_{0}}{qE}$   ⑨
答：
（1）矩形勻強(qiáng)磁場(chǎng)的寬度d為$\frac{1}{2}$L．
（2）帶電粒子從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到c點(diǎn)的時(shí)間為$\frac{（2π+3\sqrt{3}）L}{9{v}_{0}}$+$\frac{2\sqrt{3}m{v}_{0}}{qE}$．

點(diǎn)評(píng) 本題中粒子先在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，后在電場(chǎng)中做類似平拋運(yùn)動(dòng)，要注意兩個(gè)軌跡的連接點(diǎn)，然后根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和牛頓第二定律以及幾何關(guān)系列式求解，其中畫出軌跡是關(guān)鍵．