Question

如圖所示，有一光滑軌道ABC，AB為豎直平面內(nèi)半徑為R的四分之一圓弧軌道，BC部分為足夠長(zhǎng)的水平軌道．一個(gè)質(zhì)量為m₁的小物體自A處由靜止釋放，m₁沿圓弧軌道AB滑下，與在水平軌道BC上質(zhì)量為m₂的靜止的物體相碰．
（1）如果m₂與水平輕彈簧相連，彈簧的另一端連在固定裝置P上．m₁滑到水平軌道后與m₂發(fā)生碰撞但不粘連，碰撞后m₁與m₂一起將彈簧壓縮后被彈回，m₁與m₂重新分開(kāi)．若彈簧壓縮和伸長(zhǎng)過(guò)程中無(wú)機(jī)械能損失，且m₁=m₂，求m₁反彈后能達(dá)到的最大高度；
（2）如果去掉與m₂相連的彈簧及固定裝置P，m₁仍從A處由靜止釋放．
a．若m₁=

1

2

m₂，且m₁與m₂的碰撞過(guò)程中無(wú)機(jī)械能損失，求碰撞后m₁能達(dá)到的最大高度．
b．若m₁與m₂的碰撞過(guò)程中無(wú)機(jī)械能損失，要使m₁與m₂只能發(fā)生兩次碰撞，求 m₂與 m₁的比值范圍．

Answer 1

分析：（1）m₁從A滑到B機(jī)械能守恒，和m₂發(fā)生碰撞時(shí)動(dòng)量守恒，據(jù)此可求出碰撞時(shí)的共同速度，當(dāng)彈簧恢復(fù)到自然長(zhǎng)度時(shí)m₁與m₂重新分開(kāi)，此時(shí)m₁與m₂的速度與此共同速度相等，然后根據(jù)機(jī)械能守恒即可求出m₁能達(dá)到的最大高度．
（2）a．m₁與m₂發(fā)生碰撞時(shí)動(dòng)量守恒同時(shí)機(jī)械能守恒，據(jù)此求出m₁碰后速度，然后根據(jù)機(jī)械能守恒即可求出m₁能達(dá)到的最大高度．
b．根據(jù)m₁與m₂發(fā)生碰撞時(shí)動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒求出他們的碰后速度，注意第一次碰后m₁的速度大于m₂的速度，第二次m₁的速度小于m₂的速度，據(jù)此可正確解答．

解答：解：（1）m₁從A滑到B重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能，m₁的速度達(dá)到v₁
m1gR=

1

2

m1

v

2 1

                  ①
m₁與m₂發(fā)生碰撞時(shí)彈簧處于自然狀態(tài)，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，碰撞后以共同速度v_共向右運(yùn)動(dòng)．
m₁v₁+m₂v₂=（m₁+m₂）v_共 ②
聯(lián)立①②解得：v共=

v1

2

=

2gR

2

         
m₁與m₂一起將彈簧壓縮后又被彈回，當(dāng)彈簧恢復(fù)到自然長(zhǎng)度時(shí)m₁與m₂重新分開(kāi)，此時(shí)m₁與m₂的速度都為v_共，m₁以v_共為初速度滑上圓弧軌道，設(shè)m₁能達(dá)到的最大高度是h

1

2

m1

v

2 共

=m1gh
解得 h=

1

4

R  
故m₁反彈后能達(dá)到的最大高度為：h=

1

4

R．
（2）撤去彈簧及固定裝置后．
a．m₁與m₂發(fā)生碰撞時(shí)系統(tǒng)動(dòng)量守恒，且沒(méi)有機(jī)械能損失．設(shè)向右為正方向，有
m1v1=m1

v

′ 1

+m2

v

′ 2

          ③

1

2

m1

v

2 1

=

1

2

m1(

v

′ 1

)2+

1

2

m2(

v

′ 2

)2          ④
代入m1=

1

2

m2，聯(lián)系③④可得：

v

′ 1

=-

1

3

2gR

，負(fù)號(hào)表示m₁向左運(yùn)動(dòng)
此后m₁沖上圓弧軌道，設(shè)m₁能達(dá)到的最大高度是h^′，有：

1

2

m1(

v

′ 1

)2=mgh′
將

v

′ 1

帶入上式，可得：h′=

1

9

R        
故碰撞后m₁能達(dá)到的最大高度為：h′=

1

9

R．     
b．m₁滑到水平軌道以速度v₁與靜止的m₂發(fā)生第一次碰撞，設(shè)向右為正方向，有
m1v1=m1

v

′ 1

+m2

v

′ 2

       

1

2

m1

v

2 1

=

1

2

m1(

v

′ 1

)2+

1

2

m2(

v

′ 2

)2       
解得：

v

′ 1

=

(m1-m2)v1

m1+m2

，

v

′ 2

=

2m1v1

m1+m2

要能發(fā)生第二次碰撞的條件是

v

′ 1

＜0，即m₁＜m₂；且|

v

′ 1

|＞

v

′ 2

，即|m₁-m₂|＞2m₁，可得
m₂＞3m₁ ⑤
m₁從圓弧軌道上滑下，以大小為|

v

′ 1

|=

m2-m1

m1+m2

v1的速度與速度為

v

′ 2

=

2m1v1

m1+m2

的m₂發(fā)生第二次碰撞，有：
m1|

v

′ 1

|+m2

v

′ 2

=m1

v

″ 1

+m2

v

″ 2

1

2

m1(

v

′ 1

)2+

1

2

m2(

v

′ 2

)2=

1

2

m1(

v

″ 1

)2+

1

2

m2(

v

″ 2

)2
第二次碰后m₁和 m₂的速度

v

″ 1

=

4m1m2-(m2-m1)2

(m1+m2)2

v1     ⑥

v

″ 2

=

4m1(m2-m1)

(m1+m2)2

v1       ⑦
不發(fā)生第三次碰撞的條件為：|

v

″ 1

|≤

v

″ 2

則：-4m₁（m₂-m₁）≤4m1m2-(m2-m1)2≤4m₁（m₂-m₁）
解不等式-4m1(m2-m1)≤4m1m2-(m2-m1)2
得：(5-2

5

)m1≤m2≤(5+2

5

)m1            ⑧
解不等式：4m1m2-(m2-m1)2≤4m1(m2-m1)
得    m₂≥3m₁  或m₂≤-m₁  ⑨（9）
綜合⑤、⑧、⑨，m₁與m₂只能發(fā)生兩次碰撞的條件為：3＜

m2

m1

≤5+2

5

故要使m₁與m₂只能發(fā)生兩次碰撞，m₂與 m₁的比值范圍為：3＜

m2

m1

≤5+2

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了動(dòng)量和能量問(wèn)題，有一定的難度，難點(diǎn)在于數(shù)學(xué)運(yùn)算，因此平時(shí)訓(xùn)練中要注意數(shù)學(xué)知識(shí)在物理中的應(yīng)用．