Question

8．科學(xué)家在地球軌道外側(cè)發(fā)現(xiàn)了一顆繞太陽運(yùn)行的小行星，經(jīng)過觀測(cè)該小行星每隔t時(shí)間與地球相遇一次（即距離最近）．已知地球繞太陽公轉(zhuǎn)半徑是R，周期是T，引力常量為G，設(shè)地球和小行星都是圓軌道，且在同一平面同向轉(zhuǎn)動(dòng)．求：
（1）太陽的質(zhì)量M；
（2）小行星與地球的最遠(yuǎn)距離S．

Answer 1

分析 （1）地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解；
（2）該小行星每隔t時(shí)間與地球相遇一次，即t時(shí)間內(nèi)地球多轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，可以求解出小行星的周期；然后根據(jù)萬有引力提供向心力列式求解出軌道半徑，兩個(gè)半徑之差為最小距離．

解答 解：1）地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力，
G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$•R  …①
得M=$\frac{{{4π}^{2}R}^{3}}{{GT}^{2}}$
（2）設(shè)小行星繞太陽運(yùn)行半徑為r，周期為T′，質(zhì)量為m′
$\frac{GMm′}{{r}^{2}}$=m′$\frac{{4π}^{2}}{{T′}^{2}}$•r  ②
由①②得$\frac{{T′}^{2}}{{T}^{2}}$=$\frac{{r}^{3}}{{R}^{3}}$   ③
小行星每隔t時(shí)間為地球相遇一次
（$\frac{2π}{T}$-$\frac{2π}{T′}$）•t=2π  ④
由③④得
R′=$\root{3}{\frac{{t}^{2}}{{（t-T）}^{2}}}$•R  
小行星為地球的最遠(yuǎn)距離S
S=R′+R=（1+$\root{3}{\frac{{t}^{2}}{{（t-T）}^{2}}}$）•R
答：（1）太陽的質(zhì)量是$\frac{{{4π}^{2}R}^{3}}{{GT}^{2}}$；
（2）小行星與地球的最遠(yuǎn)距離是（1+$\root{3}{\frac{{t}^{2}}{{（t-T）}^{2}}}$）•R．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵建立行星勻速圓周運(yùn)動(dòng)的模型，然后根據(jù)萬有引力提供向心力列式求解；知道小行星每隔t時(shí)間與地球相距最近一次，即t時(shí)間內(nèi)地球多轉(zhuǎn)動(dòng)一圈．