Question

8．電視機(jī)中顯像管（抽成真空玻璃管）的成像原理主要是靠電子槍產(chǎn)生高速電子束，并在變化的磁場作用下發(fā)生偏轉(zhuǎn)，打在熒光屏不同位置上發(fā)出熒光而形成像．顯像管的原理示意圖（俯視圖）如圖甲所示，在電子槍右側(cè)的偏轉(zhuǎn)線圈可以產(chǎn)生使電子束沿紙面發(fā)生偏轉(zhuǎn)的磁場，偏轉(zhuǎn)的磁場可簡化為由通電螺線管產(chǎn)生的與紙面垂直的磁場，該磁場分布的區(qū)域?yàn)閳A形（如圖乙所示），其磁感應(yīng)強(qiáng)度B=μN(yùn)I，式中μ為磁常量，N為螺線管線圈的匝數(shù)，I為線圈中電流的大小．由于電子的速度極大，同一電子穿過磁場過程中可認(rèn)為磁場沒有變化，是穩(wěn)定的勻強(qiáng)磁場．已知電子質(zhì)量為m，電荷量為e，電子槍加速電壓為U，磁常量為μ，螺線管線圈的匝數(shù)N，偏轉(zhuǎn)磁場區(qū)域的半徑為r，其圓心為O點(diǎn)．當(dāng)沒有磁場時，電子束通過O點(diǎn)，打在熒光屏正中的M點(diǎn)，O點(diǎn)到熒光屏中心的距離OM=L．若電子被加速前的初速度和所受的重力、電子間的相互作用力以及地磁場對電子束的影響均可忽略不計(jì)，不考慮相對論效應(yīng)及磁場變化所激發(fā)的電場對電子束的作用．
（1）求電子束經(jīng)偏轉(zhuǎn)磁場后打到熒光屏上P點(diǎn)時的速率；
（2）若電子束經(jīng)偏轉(zhuǎn)磁場后速度的偏轉(zhuǎn)角θ=60°，求此種情況下電子穿過磁場時，螺線管線圈中電流I₀的大��；
（3）當(dāng)線圈中通入如圖丙所示的電流，其最大值為第（2）問中電流的0.5倍．求電子束打在熒光屏上發(fā)光所形成“亮線”的長度．

Answer 1

分析 （1）電子在加速電場中，由動能定理求解獲得的速度v的大小，洛倫茲力不做功，故此速度大小電子束經(jīng)偏轉(zhuǎn)磁場后打到熒光屏上P點(diǎn)時的速率；
（2）根據(jù)幾何關(guān)系求出臨界狀態(tài)下的半徑的大小，結(jié)合洛倫茲力提供向心力求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，進(jìn)而由磁感應(yīng)強(qiáng)度B=μN(yùn)I確定螺線管線圈中電流I₀的大小．
（3）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，出磁場做勻速直線運(yùn)動，通過最大的偏轉(zhuǎn)角，結(jié)合幾何關(guān)系求出熒光屏上亮線的長度．

解答 解：（1）設(shè)經(jīng)過電子槍加速電場加速后，電子的速度大小為v．
根據(jù)動能定理有：eU=$\frac{1}{2}$mv²
解得：v=$\sqrt{\frac{2eU}{m}}$
（2）設(shè)電子在磁場中做圓運(yùn)動的半徑為R，運(yùn)動軌跡如答圖乙所示．
根據(jù)幾何關(guān)系有：tan$\frac{θ}{2}$=$\frac{r}{R}$
洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律有：evB=$\frac{{mv}^{2}}{R}$
由題知B=μN(yùn)I₀
解得：${I}_{0}=\frac{\sqrt{6meU}}{3rμeN}$
（3）設(shè)線圈中電流為0.5I₀時，偏轉(zhuǎn)角為θ₁，此時電子在屏幕上落點(diǎn)距M點(diǎn)最遠(yuǎn)．  
此時磁感應(yīng)強(qiáng)度${B}_{1}=0.5μ{NI}_{0}=\frac{B}{2}$
QUOTE軌跡圓半徑${R}_{1}=\frac{mv}{{eB}_{1}}=2R=2\sqrt{3}r$
tan$\frac{{θ}_{1}}{2}=\frac{r}{{R}_{1}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$
電子在屏幕上落點(diǎn)距M點(diǎn)最遠(yuǎn)距離y=Ltanθ₁=$\frac{4\sqrt{3}}{11}L$
亮線長度Y=2y=$\frac{8\sqrt{3}}{11}L$ 
答：（1）電子束經(jīng)偏轉(zhuǎn)磁場后打到熒光屏上P點(diǎn)時的速率$\sqrt{\frac{2eU}{m}}$；
（2）此種情況下電子穿過磁場時，螺線管線圈中電流I₀的大小$\frac{\sqrt{6meU}}{3RμeN}$；
（3）電子束打在熒光屏上發(fā)光所形成“亮線”的長度亮線長度$\frac{8\sqrt{3}}{11}L$．

點(diǎn)評 考查電子受電場力做功，應(yīng)用動能定理；電子在磁場中，做勻速圓周運(yùn)動，運(yùn)用牛頓第二定律求出半徑表達(dá)式；同時運(yùn)用幾何關(guān)系來確定半徑與已知長度的關(guān)系．