Question

如圖所示，一個(gè)帶有圓弧的粗糙滑板A，總質(zhì)量為m_A=3kg，其圓弧部分與水平部分相切于P，水平部分PQ長為L=3.75m．開始時(shí)A靜止在光滑水平面上，有一質(zhì)量為m_B=2kg的小木塊B從滑板A的右端以水平初速度v₀=5m/s滑上A，小木塊B與滑板A之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.15，小木塊B滑到滑板A的左端并沿著圓弧部分上滑一段弧長后返回最終停止在滑板A上。

（1）求A、B相對(duì)靜止時(shí)的速度大小；

（2）若B最終停在A的水平部分上的R點(diǎn)，P、R相距1m，求B在圓弧上運(yùn)動(dòng)過程中因摩擦而產(chǎn)生的內(nèi)能；

（3）若圓弧部分光滑，且除v₀不確定外其他條件不變，討論小木塊B在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，是否有可能在某段時(shí)間里相對(duì)地面向右運(yùn)動(dòng)？如不可能，說明理由；如可能，試求出B既能向右滑動(dòng)、又不滑離木板A的v₀取值范圍。(取g＝10m/s²，結(jié)果可以保留根號(hào))

Answer 1

【解析】（1）彈簧剛好恢復(fù)原長時(shí)，A和B物塊速度的大小分別為υ_A、υ_B．

由動(dòng)量守恒定律有：0 = m_Aυ_A - m_Bυ_B                      2分

此過程機(jī)械能守恒有：E_p = m_Aυ+m_Bυ     2分

代入E_p＝108J，解得：υ_A＝6m/s，υ_B = 12m/s，A的速度向右，B的速度向左．2分

（2）C與B碰撞時(shí)，設(shè)碰后B、C粘連時(shí)速度為υ′，據(jù)C、B組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒

有：m_Bυ_B -m_Cυ_C = （m_B+m_C）υ′  代入數(shù)據(jù)得υ′ = 4m/s，υ′的方向向左   2分

此后A和B、C組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，機(jī)械能守恒，當(dāng)彈簧第二次壓縮最短時(shí)，彈簧具有的彈性勢(shì)能最大為E_p′，且此時(shí)A與B、C三者有相同的速度為υ     2分

則有： m_Aυ_A -（m_B+m_C）υ′ = （m_A+m_B+m_C）υ，代入數(shù)據(jù)得υ = 1m/s，υ的方向向右．2分

機(jī)械能守恒：m_Aυ+（m_B+m_C）υ^′2 = E_p′+（m_A+m_B+m_C）υ²，   2分

代入數(shù)據(jù)得        E′_p＝50J．        2分

18、（16分）（1）小木塊B從開始運(yùn)動(dòng)直到A、B相對(duì)靜止的過程中，系統(tǒng)水平方向上動(dòng)量守恒，有                                 ①

解得  ＝2 m/s                                   ②

（2）B在A的圓弧部分的運(yùn)動(dòng)過程中，它們之間因摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能為Q₁，B在A的水平部分往返的運(yùn)動(dòng)過程中，它們之間因摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能為Q₂，由能量關(guān)系得到

                                   ③

                                             ④

              ⑤

（3）設(shè)小木塊B下滑到P點(diǎn)時(shí)速度為v_B，同時(shí)A的速度為v_A，由動(dòng)量守恒和能量關(guān)系可以得到                                            ⑥

                      ⑦

由⑥⑦兩式可以得到

，令

，化簡后為                        ⑧

若要求B最終不滑離A，由能量關(guān)系必有

                                      ⑨

化簡得                                                           ⑩

故B既能對(duì)地向右滑動(dòng)，又不滑離A的條件為

                                                         ⑾

即  （ ）                   ⑿

本題共16分．①③⑧⑨每式2分，其余各式每式1分