Question

3．如圖所示，關(guān)于y軸對稱、電阻不計且足夠長的光滑導(dǎo)軌固定于水平面內(nèi)，導(dǎo)軌的軌道方程為y=kx²（k為已知常量）．導(dǎo)軌所在區(qū)域內(nèi)存在方向豎直向下、磁感應(yīng)強度大小為B的勻強磁場．一質(zhì)量為m的長直導(dǎo)體棒平行于x軸方向置于導(dǎo)軌上，在外力F作用下從原點由靜止開始沿y軸正方向做加速度大小為a的勻加速直線運動．運動過程中導(dǎo)體棒與x軸始終平行．導(dǎo)體棒單位長度的電阻為ρ，其與導(dǎo)軌接觸良好．求：
（1）導(dǎo)體棒在運動過程中受到的外力F隨y的變化關(guān)系；
（2）導(dǎo)體棒在運動過程中產(chǎn)生的電功率P隨y的變化關(guān)系；
（3）導(dǎo)體棒從y=0運動到y(tǒng)=L過程中外力F做的功W．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)運動學(xué)公式求解豎直分位移，結(jié)合導(dǎo)軌的軌道方程得到導(dǎo)體棒連入電路的長度，得到電阻，結(jié)合切割公式求解感應(yīng)電動勢，根據(jù)歐姆定律求解感應(yīng)電流，根據(jù)安培力公式得到安培力，根據(jù)平衡條件得到拉力；
（2）導(dǎo)體棒勻速運動，克服安培力做功的功率等于回路產(chǎn)生電功率；
（3）由于安培力與位移y成正比，結(jié)合圖象法得到克服安培力做功的大小．

解答 解：（1）設(shè)導(dǎo)體棒運動到某一位置時與軌道接觸點的坐標(biāo)為（±x，y），此時導(dǎo)體棒的速度大小為v，則由勻變速直線運動的規(guī)律，有：v²=2ay，
此時導(dǎo)體棒上產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為：E=2Bvx，
導(dǎo)體棒上通過的電流為：I=$\frac{E}{R}$，其中R=2ρx，
結(jié)合y=kx²解得：F_安=$\frac{2{B}^{2}\sqrt{2ak}}{kρ}y$，
由牛頓第二定律，有：F-F_安=ma，
解得：F=$\frac{2{B}^{2}\sqrt{2ak}}{kρ}y$+ma；
（2）由功率公式，有：P=F_安v，
解得：P=$\frac{4a{B}^{2}y\sqrt{ky}}{kρ}$；
（3）從安培力大小的表達(dá)式F_安=$\frac{2{B}^{2}\sqrt{2ak}}{kρ}y$可知，安培力大小與導(dǎo)體棒的位移大小y成正比，作出安培力隨著位移y的變化圖象如圖所示：

由圖象結(jié)合力力做功的定義可知導(dǎo)體棒從y=0到縱坐標(biāo)為y處的過程中克服安培力做的功為：W_安=$\frac{{F}_{安}}{2}•y$，
將y=L代入可得，導(dǎo)體棒從y=0運動到y(tǒng)=L過程中克服安培力做功為：
W_安=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\sqrt{2ak}}{kρ}$
設(shè)導(dǎo)體棒運動到y(tǒng)=L時的速度大小為v₁，由動能定理，有：
W-W_安=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$，
上式中：${v}_{1}^{2}=2aL$，
解得：W=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\sqrt{2ak}}{kρ}+maL$；
答：（1）導(dǎo)體棒在運動過程中受到的外力F隨y的變化關(guān)系為F=$\frac{2{B}^{2}\sqrt{2ak}}{kρ}y$+ma；
（2）導(dǎo)體棒在運動過程中產(chǎn)生的電功率P隨y的變化關(guān)系為P=$\frac{4a{B}^{2}y\sqrt{ky}}{kρ}$；
（3）導(dǎo)體棒從y=0運動到y(tǒng)=L過程中外力F做的功W為$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\sqrt{2ak}}{kρ}+maL$．

點評 本題是滑軌問題，關(guān)鍵是明確導(dǎo)體棒的受力情況，結(jié)合切割公式、歐姆定律公式、安培力公式和運動學(xué)公式列式求解，第三問注意推導(dǎo)出安培力的表達(dá)式進(jìn)行分析．