Question

12．某光滑桌面上，整齊疊放著n本質(zhì)量均為m的同種新書，處于靜止?fàn)顟B(tài)，書本之間的摩擦因數(shù)均為μ、寬度為L(zhǎng)，書本正前方有一固定的豎直擋板（厚度不計(jì)），書本到擋板距離為2L，如圖所示為側(cè)視圖．在水平向右的力F作用下，所有書本無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，一起向右運(yùn)動(dòng)．當(dāng)上面書本撞擊擋板后便立即停止運(yùn)動(dòng)，直至下面書本全部通過(guò)擋板下方區(qū)域后，才掉落至桌面，且上面書本碰撞擋板前后對(duì)下面書本的壓力保持不變（不考慮書本形變）．已知重力加速度為g，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力大小，所有運(yùn)動(dòng)均為一維直線運(yùn)動(dòng)．則；
（1）若n=7，力F作用于第7本書上，大小為3μmg，求書本與擋板碰撞時(shí)的速度大小；
（2）若n=7，力F作用于第3本書上，求書本向右運(yùn)動(dòng)的最大加速度大��；
（3）若力F作用于第k（k＜m）本書，書本以最大加速度加速碰撞擋板，調(diào)節(jié)擋板高度使得碰撞后上方k本書停止運(yùn)動(dòng)，試討論下方書本能否穿出擋板及穿出后書本的速度大�。�

Answer 1

分析 （1）對(duì)整體分析，運(yùn)用動(dòng)能定理求出書本與擋板碰撞時(shí)的速度大小；
（2）對(duì)下面4本書整體分析，抓住最大摩擦力的大小，根據(jù)牛頓第二定律求出最大加速度大�。�
（3）若力F作用于書的上半?yún)^(qū)，結(jié)合牛頓第二定律求出最大加速度，根據(jù)速度位移公式求出碰撞前的速度，再結(jié)合速度位移公式求出下方書本穿出擋板的速度大�。�
若力F作用于下半?yún)^(qū)，結(jié)合最大加速度求出碰撞前的速度，結(jié)合速度位移公式求出穿出后速度的表達(dá)式，通過(guò)穿出后速度大于零求出k的取值范圍．

解答 解：（1）對(duì)整體運(yùn)用動(dòng)能定理得：
$F•2L=\frac{1}{2}×7m{v}^{2}$，
解得：v=$\frac{2\sqrt{21μgL}}{7}$．
（2）對(duì)下面4本書整體分析得：
μ•3mg=4m•a_m，
解得：${a}_{m}=\frac{3μg}{4}$．
（3）①若用力F作用于上半?yún)^(qū)，有：$k≤\frac{1}{2}n$，
則最大加速度為：a=$\frac{μkmg}{（n-k）m}=\frac{μkg}{n-k}$，
碰撞前的速度為：v₁=$\sqrt{2•\frac{μkg}{n-k}•2L}$，
當(dāng)下方n-k本書穿越擋板時(shí)，加速度仍然是：$a=\frac{μkg}{n-k}$，
則穿出后的速度大小為：${v}_{2}=\sqrt{{{v}_{1}}^{2}-2•\frac{μkg}{n-k}•L}$=$\sqrt{2•\frac{μkg}{n-k}•L}$．
②若力F作用于下半?yún)^(qū)有：k$≥\frac{1}{2}n$，
則最大加速度為：$a=\frac{μ•kmg}{km}=μg$，
碰撞前速度為：${v}_{3}=\sqrt{2•μg•2L}$，
當(dāng)下方n-k本書穿越擋板時(shí)，加速度為：a=$\frac{μkg}{n-k}$，
則穿出后的速度大小為：${v}_{4}=\sqrt{{{v}_{3}}^{2}-2•\frac{μkg}{n-k}•L}$=$\sqrt{2μgL•\frac{2n-3k}{n-k}}$，條件為：$\frac{1}{2}n≤k≤\frac{2}{3}n$．
③$\frac{2}{3}n＜k＜n$，下方書本不能穿出．
答：（1）書本與擋板碰撞時(shí)的速度大小為$\frac{2\sqrt{21μgL}}{7}$．
（2）書本向右運(yùn)動(dòng)的最大加速度大小為$\frac{3μg}{4}$．
（3）若用力F作用于上半?yún)^(qū)，$k≤\frac{1}{2}n$，穿出后的速度大小為$\sqrt{2•\frac{μkg}{n-k}•L}$．
若力F作用于下半?yún)^(qū)$\frac{1}{2}n≤k≤\frac{2}{3}n$，穿出后的速度大小為$\sqrt{2μgL•\frac{2n-3k}{n-k}}$．
若$\frac{2}{3}n＜k＜n$，下方書本不能穿出．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和動(dòng)能定理的綜合運(yùn)用，關(guān)鍵合理地選擇研究對(duì)象，通過(guò)牛頓第二定律求出加速度，通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式討論分析求解，有一定的難度．