Question

17．如圖所示，在平面直角坐標系中，第三象限里有一加速電場，一個電荷量為q、質(zhì)量為m的粒子，從靜止開始經(jīng)加速電場加速后，垂直x軸從A點進入第二象限，A點到坐標原點O的距離為R．在第二象限的區(qū)域內(nèi)，存在著指向O點的均勻輻射狀電場，距O點R處的電場強度大小均為E，粒子恰好能垂直y軸從P點進入第一象限．當粒子從P點運動一段距離R后，進入一圓形勻強磁場區(qū)域，磁場方向垂直紙面向外，磁感強度為B，粒子在磁場中速度方向偏轉(zhuǎn)60°，粒子離開磁場區(qū)域后繼續(xù)運動，通過x軸上的Q點進入第四象限．
求：（1）加速電場的電壓U；
（2）圓形勻強磁場區(qū)域的最小面積；
（3）求粒子在第一象限中運動的時間．

Answer 1

分析 （1）由動能定理求出帶電粒子經(jīng)過加速電場后的速度，進入第三象限的輻向電場做勻速圓周運動，電場力提供向心力，由于是垂直于y軸進入第一象限，則在第二象限做勻速圓周運動的半徑的R，從而求出加速電壓．
（2）由題設條件，平行于x軸進入第一象限的帶電粒子穿過圓形磁場區(qū)域后偏轉(zhuǎn)60°后又沿直線從Q點穿出，畫出帶電粒子在第一象限的運動軌跡，由幾何關系可以求出粒子在圓形磁場區(qū)域內(nèi)做勻速圓周運動的半徑，那么圓形區(qū)域的最小面積是以圓周運動的弦為直徑的圓的面積，從而求出磁場區(qū)域的最小面積．
（3）在第（2）的基礎上，求出帶電粒子在第一象限內(nèi)運動軌跡的長度，除以速度從而求出了在第一象限的總時間．

解答 解：（1）粒子在加速電場中加速，根據(jù)動能定理有
$qU=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
由題意，粒子在第二象限輻射狀電場中只能做半徑為R的勻速圓周運動，電場力提供向心力，有$qE=m\frac{{v}^{2}}{R}$
解得U=$\frac{ER}{2}$
（2）粒子在圓形勻強磁場區(qū)域中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，有
$qvB=m\frac{{v}^{2}}{r}$
由①或②得v=$\sqrt{\frac{qER}{m}}$
代入④式得    r=$\frac{1}{2}R$         
如圖所示，粒子在a點進入磁場，以c為圓心做圓周運動，從b點離開磁場，速度偏轉(zhuǎn)角是60^o，
由幾何關系可知△abc是正三角形，ab=r，以ab為直徑的圓形面積即為磁場區(qū)域的最小面積．
 最小面積為S_min=$π（\frac{r}{2}）^{2}$=$\frac{π{R}^{2}}{16}$                          
（3）基于第（2）問基礎，分析作圖后由幾何關系有：
Pa=R
ab弧長為：l=$\frac{2πr}{6}$=$\frac{πR}{6}$
be=R-ab•cos60°=$\frac{3R}{4}$
bQ=$\frac{be}{sin60°}$=$\frac{\sqrt{3}R}{2}$                      
粒子在第一象限的路程為s=Pa+l+bQ=（1+$\frac{π}{6}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）R
則t=$\frac{s}{v}$=$\frac{（1+\frac{π}{6}+\frac{\sqrt{3}}{2}）R}{\sqrt{\frac{qER}{m}}}$═（1+$\frac{π}{6}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）$\sqrt{\frac{mR}{qE}}$
答：（1）加速電場的電壓U為$\frac{ER}{2}$．
（2）圓形勻強磁場區(qū)域的最小面積為$\frac{π{R}^{2}}{16}$．
（3）求粒子在第一象限中運動的時間為（1+$\frac{π}{6}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）$\sqrt{\frac{mR}{qE}}$．

點評 本題的靚點有兩個：①帶電粒子經(jīng)電場加速后進入輻向電場恰好做半徑為R的勻速圓周運動，②進入圓形磁場區(qū)域做勻速圓周運動后偏轉(zhuǎn)60°又從磁場中穿出，從而確定做圓周運動的半徑．那么圓形磁場區(qū)域的最小面積是以那段弧所對弦為直徑的圓的面積．