Question

9．如圖所示，滑塊可以在水平放置的光滑固定長(zhǎng)導(dǎo)軌上自由滑動(dòng)，小球通過一不可伸縮的輕繩與滑塊上的懸點(diǎn)O相連．滑塊和小球的質(zhì)量分別為m和2m，輕繩長(zhǎng)為l，開始時(shí)，小球與滑塊靜止，且處于圖示位置，輕繩呈水平拉直狀態(tài)．
（1）將小球由靜止釋放，若小球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)滑塊剛好被一表面涂有強(qiáng)黏性物質(zhì)的固定擋板極快地粘�。�求：
（1-1）小球繼續(xù)向左擺動(dòng)達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)，輕繩與豎直方向的夾角．
（1-2）擋板對(duì)滑塊的沖量．
（1-3）小球從釋放到第一次達(dá)到最低點(diǎn)的過程中，輕繩拉力對(duì)小球做的功．
（2）將小球由靜止釋放，若長(zhǎng)軌道上無(wú)擋板，求小球在下落過程中速率的最大值．（本題可用TI圖形計(jì)算器）

Answer 1

分析 （1）（1-1）小球由靜止釋放后的過程中，小球與滑塊組成的系統(tǒng)水平方向不受外力，水平方向動(dòng)量守恒，系統(tǒng)的機(jī)械能也守恒，由此列式求解小球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)的速度．小球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)滑塊剛好被擋板極快地粘住，之后小球繼續(xù)向左擺動(dòng)達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)，由機(jī)械能守恒定律求輕繩與豎直方向的夾角．
（1-2）由動(dòng)量定理求擋板對(duì)滑塊的沖量．
（1-3）由動(dòng)能定理求輕繩拉力對(duì)小球做的功．
（2）若長(zhǎng)軌道上無(wú)擋板，由動(dòng)量守恒定律、機(jī)械能守恒定律和速度關(guān)系列式求解．

解答 解：（1-1）小球與滑塊組成的系統(tǒng)水平方向無(wú)外力動(dòng)量守恒，設(shè)小球與滑塊達(dá)到最低點(diǎn)的速度分別為v₁、v₂，取水平向左為正方向，在小球下擺過程，由動(dòng)量守恒定律有：
  2mv₁+mv₂=0，得 2v₁=-v₂．
由機(jī)械能守恒定律有
   $\frac{1}{2}$•2mv₁²+$\frac{1}{2}$mv₂²=2mgl，
解得：v₁²=$\frac{2}{3}$gl，v₂=-2$\sqrt{\frac{2gl}{3}}$
小球上擺的過程，由機(jī)械能守恒定律有：
    $\frac{1}{2}$•2mv₁²=2mgl（1-cosθ），
解得：cosθ=$\frac{2}{3}$，θ=cos^-1$\frac{2}{3}$
（1-2）對(duì)滑塊，由動(dòng)量定理有 I=0-mv₂=2m$\sqrt{\frac{2gl}{3}}$
（1-3）對(duì)小球，由動(dòng)能定理得
-W=2mgl-$\frac{1}{2}$•2mv₁²，W=-$\frac{4}{3}$mgl
（2）設(shè)小球下落到繩與導(dǎo)軌夾角為α?xí)r，速度為v，其水平分速度為v₁，豎直分速度為v₂，此時(shí)滑塊速度為v₃，由水平方向動(dòng)量守恒得：
  2mv₁+mv₃=0，v₃=-2v₁
沿繩方向兩端速度相等得：v₂sinα-v₁cosα=v₃cosα，
解得：v₂=3v₁cotα，
再由機(jī)械能守恒得：$\frac{1}{2}$mv₃²+$\frac{1}{2}$•2m（v₁²+v₂²）=2mglsinα，
解得：v₁²=$\frac{2glsi{n}^{3}α}{3si{n}^{2}α+9co{s}^{2}α}$
v²=v₁²+v₂²=2glsinα$\frac{si{n}^{2}α+9co{s}^{2}α}{3si{n}^{2}α+9co{s}^{2}α}$
利用圖形計(jì)算器的函數(shù)功能，可以得：α=51.38°，v_max=1.098$\sqrt{gl}$
答：（1-1）小球繼續(xù)向左擺動(dòng)達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)，輕繩與豎直方向的夾角是cos^-1$\frac{2}{3}$．
（1-2）擋板對(duì)滑塊的沖量是2m$\sqrt{\frac{2gl}{3}}$．
（1-3）小球從釋放到第一次達(dá)到最低點(diǎn)的過程中，輕繩拉力對(duì)小球做的功是-$\frac{4}{3}$mgl．
（2）將小球由靜止釋放，若長(zhǎng)軌道上無(wú)擋板，小球在下落過程中速率的最大值是1.098$\sqrt{gl}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵要抓住滑塊被擋板粘住前系統(tǒng)的水平方向動(dòng)量守恒，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒、滑塊被擋板粘住后小球的機(jī)械能守恒，滑塊與擋板碰撞前后，小球的速度不變．