Question

如圖所示，x軸上方是磁感強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，下方是場強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場，方向如圖，屏MN距y軸為S．今有一個(gè)質(zhì)量為m 電荷量為q的正離子（不計(jì)重力）從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿y軸正方向射入磁場，若要粒子垂直打在MN上，則
（1）粒子從原點(diǎn)射入時(shí)的速度是多少？
（2）粒子從射入磁場到打在MN上需要多少時(shí)間？

Answer 1

分析：（1）設(shè)正離子在磁場中運(yùn)動(dòng)的半徑為R，要使粒子垂直打在屏MN上，根據(jù)幾何關(guān)系得到s=2nR+R（n=0，1，2，…），得到半徑R的表達(dá)式，由牛頓第二定律求解離子的速度．
（2）根據(jù)離子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與周期的關(guān)系，求出離子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間．離子在電場中做往復(fù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律和速度公式結(jié)合求出時(shí)間，即可得到總時(shí)間．

解答： 解：（1）設(shè)正離子在磁場中運(yùn)動(dòng)的半徑為R，要使粒子垂直打在屏MN上，則有s=2nR+R（n=0，1，2，…），得R=

s

2n+1

，
可能（n=0，1時(shí)）的軌跡如圖中虛線所示．
又Bqv=m

v2

R

，所以v=

BqR

m

=

Bqs

(2n+1)m

（n=0，1，2，…）．
（2）粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間t₁=

n

2

T+

1

4

T
又T=

2πm

qB

，所以t₁=

πnm

qB

+

πm

qB

（n=0，1，2，…）
粒子在電場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₂，
由t₂=2n

v

a

，Eq=ma，得
t₂=

2nBs

E(2n+1)

（n=0，1，2，…）
所以粒子運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為
t=t₁+t₂=

(2n+1)πm

2Bq

+

2nBs

(2n+1)E

（n=0，1，2，…）．
答：
（1）粒子從原點(diǎn)射入時(shí)的速度是

Bqs

(2n+1)m

（n=0，1，2，…）．
（2）粒子從射入磁場到打在MN上需要時(shí)間為

(2n+1)πm

2Bq

+

2nBs

(2n+1)E

（n=0，1，2，…）．

點(diǎn)評(píng)：本題是物理上的數(shù)列問題，通過歸納法得到半徑的通項(xiàng)是關(guān)鍵，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題的能力．