Question

一宇航員到達半徑為R、密度均勻的某星球表面，做如下實驗：用不可伸長的輕繩拴一質量為m的小球，上端固定在O點，如圖甲所示，在最低點給小球某一初速度，使其繞O點的豎直面內做圓周運動，測得繩的拉力F大小隨時間t的變化規(guī)律如圖乙所示．F₁=7F₂，設R、m、引力常量G以及F₁為已知量，忽略各種阻力．以下說法正確的是（　　）

• A．該星球表面的重力加速度為

  F1

  7m

• B．衛(wèi)星繞該星球的第一宇宙速度為

  Gm R

• C．星球的質量為

  F1R2

  7Gm

• D．小球在最高點的最小速度為零

Answer 1

分析：（1）對砝碼受力分析，在最高點和最低點時，由向心力的公式和整個過程的機械能守恒可以求得重力加速度的大��；
（2）根據萬有引力提供向心力可以求得星球的第一宇宙速度．
（3）求得星球表面的重力加速度的大小，再由在星球表面時，萬有引力和重力近似相等，可以求得星球的質量；
（4）對小球在最高點運用牛頓第二定律分析求解問題．

解答：解：A、設砝碼在最低點時細線的拉力為F₁，速度為v₁，則
  F₁-mg=m

v 2 1

R

     ①
設砝碼在最高點細線的拉力為F₂，速度為v₂，則
  F₂+mg=m

v 2 2

R

       ②
由機械能守恒定律得 mg2r+

1

2

mV₂²=

1

2

mV₁²  ③
由①、②、③解得
  g=

F1-F2

6m

    ④
F₁=7F₂，
所以該星球表面的重力加速度為

F1

7m

．故A正確．
B、根據萬有引力提供向心力得：

GMm

R2

=

mv2

R

衛(wèi)星繞該星球的第一宇宙速度為v=

GM R

，故B錯誤．
C、在星球表面，萬有引力近似等于重力
 G

Mm′

R2

=m′g      ⑤
由④、⑤解得
  M=

F1R2

7Gm

，故C正確．
D、小球在最高點受重力和繩子拉力，根據牛頓運動定律得：
  F₂+mg=m

v 2 2

R

≥mg
所以小球在最高點的最小速v₂≥

gR

．故D錯誤．
故選AC．

點評：根據砝碼做圓周運動時在最高點和最低點的運動規(guī)律，找出向心力的大小，可以求得重力加速度，
知道在星球表面時，萬有引力和重力近似相等，而貼著星球的表面做圓周運動時，物體的重力就作為做圓周運動的向心力．