Question

8．如圖所示，在直角坐標(biāo)系的第一、二象限內(nèi)有垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，第三象限有沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，第四象限內(nèi)無(wú)電場(chǎng)和磁場(chǎng)．質(zhì)量為m、帶電量為q的粒子從M點(diǎn)以速度v0沿x軸負(fù)方向進(jìn)入電場(chǎng)，不計(jì)粒子的重力，粒子經(jīng)N、P最后又回到M點(diǎn)．設(shè)OM=L，ON=2L，求：
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大��；
（2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和方向；
（3）求粒子全過程所用的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）分析帶電粒子的運(yùn)動(dòng)情況：電子在電場(chǎng)中，受到豎直向上的電場(chǎng)力而做類平拋運(yùn)動(dòng)（或勻變速曲線運(yùn)動(dòng)）；根據(jù)粒子受力的方向與電場(chǎng)線方向的關(guān)系判斷出粒子的電性；根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出電場(chǎng)強(qiáng)度；
（2）根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出粒子在y方向的分速度，然后使用平行四邊形定則求出帶電粒子到達(dá)N點(diǎn)時(shí)的速度大小和方向；進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)； 畫出軌跡，根據(jù)圖象中的幾何關(guān)系求得圓周運(yùn)動(dòng)的半徑；根據(jù)洛倫茲力提供向心力，寫出動(dòng)力學(xué)的方程，求得磁場(chǎng)的強(qiáng)度；
（3）粒子先在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，然后在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，離開磁場(chǎng)后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，求出各段的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，然后求出總的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．磁場(chǎng)中根據(jù)軌跡的圓心角α，由t=$\frac{α}{2π}$求時(shí)間．由幾何知識(shí)得到勻速直線運(yùn)動(dòng)的距離，即可求出勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．再根據(jù)幾何知識(shí)求出磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑，求出T，即可求得總時(shí)間．

解答 解：（1）粒子從M至N運(yùn)動(dòng)過程粒子逆著電場(chǎng)線的方向發(fā)生偏轉(zhuǎn)，
說明受力的方向與電場(chǎng)線的方向相反，所以粒子帶負(fù)電．
粒子從M至N運(yùn)動(dòng)過程做類平拋運(yùn)動(dòng)，有：L=$\frac{1}{2}$at₁²…①
加速度：a=$\frac{qE}{m}$…②
運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t₁=$\frac{2L}{{v}_{0}}$…③
由①②③得電場(chǎng)強(qiáng)度：E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qL}$…④
（2）到達(dá)N時(shí)：v_y=at₁
設(shè)v_N與x成θ角tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=1，所以：θ=45°
帶電粒子到N點(diǎn)速度：v_N=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{2}$v₀…⑤
帶電粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示，由左手定則可得：粒子帶負(fù)電荷．
圓心在O′處，設(shè)半徑為R，由幾何關(guān)系知帶電粒子過P點(diǎn)的速度方向與x成45°角，
則OP=OM=L，則R=$\frac{3L}{\sqrt{2}}$…⑥
由牛頓第二定律得：qv_NB=m$\frac{{v}_{N}^{2}}{R}$…⑦
由⑥⑦解得：B=$\frac{2m{v}_{0}}{3qL}$，由左手定則可知，方向垂直于紙面向里；
（3）由圖可知，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的圓弧的圓心角為270°，
設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₂，則：t₂=$\frac{3}{4}$$\frac{2πR}{{v}_{N}}$=$\frac{9πL}{4{v}_{0}}$，
電子從P點(diǎn)到M點(diǎn)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₃：t₃=$\frac{\sqrt{2}OM}{{v}_{N}}$=$\frac{\sqrt{2}L}{\sqrt{2}{v}_{0}}$=$\frac{L}{{v}_{0}}$，
故總時(shí)間為：t_總=t₁+t₂+t₃=$\frac{2L}{{v}_{0}}$+$\frac{9πL}{4{v}_{0}}$+$\frac{L}{{v}_{0}}$=（3+$\frac{9π}{4}$）$\frac{L}{{v}_{0}}$…⑧
答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小為：$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qL}$；
（2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)B的大小為：$\frac{2m{v}_{0}}{3qL}$，方向：垂直于紙面向里；
（3）粒子從M點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)，經(jīng)N、P點(diǎn)最后又回到M點(diǎn)所用的時(shí)間為：（3+$\frac{9π}{4}$）$\frac{L}{{v}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 熟悉類平拋運(yùn)動(dòng)的處理方式，把平拋運(yùn)動(dòng)分解成相互垂直方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，通過分運(yùn)動(dòng)的處理得到合運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)．畫出軌跡，運(yùn)用幾何知識(shí)求出磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑，即可求出時(shí)間．