Question

10．有兩個(gè)人造地球衛(wèi)星，都繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知它們的軌道半徑之比r₁：r₂=1：3，求這兩個(gè)衛(wèi)星的：
（1）線速度之比；
（2）角速度之比；
（3）向心加速度之比；
（4）運(yùn)動(dòng)周期之比．

Answer 1

分析 根據(jù)人造衛(wèi)星的萬(wàn)有引力等于向心力，列式求出線速度、角速度、向心加速度、周期的表達(dá)式進(jìn)行討論即可．

解答 解：（1）人造衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m、軌道半徑為r、地球質(zhì)量為M，有F=F_向，
則$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$
軌道半徑之比r₁：r₂=1：3，
所以它們的線速度之比v₁：v₂=$\sqrt{3}$：1，
（2）根據(jù)$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=mω²r
解得：ω=$\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$
所以角速度之比ω₁：ω₂=$3\sqrt{3}$：1，
（3）根據(jù)$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=ma
解得：a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$
所以向心加速度之比a₁：a₂=9：1，
（4）根據(jù)$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=$m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$
解得：$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$
所以周期之比 T₁：T₂=1：$3\sqrt{3}$．
答：（1）線速度之比為$\sqrt{3}$：1；
（2）角速度之比為$3\sqrt{3}$：1；
（3）向心加速度之比為9：1；
（4）運(yùn)動(dòng)周期之比為1：$3\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵抓住萬(wàn)有引力提供向心力，列式求解出線速度、角速度、向心加速度和向心力的表達(dá)式，再進(jìn)行討論．