Question

如圖所示，以A、B和C、D為端點(diǎn)的兩半圓形光滑軌道固定于豎直平面內(nèi)，一滑板靜止在光滑水平地面上，左端緊靠B點(diǎn)，上表面所在平面與兩半圓分別相切于B、C，一物塊被輕放在水平勻速運(yùn)動的傳送帶上E點(diǎn)，運(yùn)動到A時剛好與傳送帶速度相同，然后經(jīng)A沿半圓軌道滑下，再經(jīng)B滑上滑板，滑板運(yùn)動到C時被牢固粘連，物塊可視為質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為m，滑板質(zhì)量M=2m，兩半圓半徑均為R，板長l=6.5R，板右端到C的距離L在R＜L＜5R范圍內(nèi)取值，E距A為S=5R，物塊與傳送帶、物塊與滑板間的動摩擦因數(shù)均μ=0.5，重力加速度取g．
（1）求物塊滑到B點(diǎn)的速度大小；
（2）試討論物塊從滑上滑板到離開滑板右端的過程中，克服摩擦力做的功W_f與L的關(guān)系，并判斷物塊能否滑到CD軌道的中點(diǎn)．

Answer 1

（1）設(shè)物塊運(yùn)動到A和B點(diǎn)的速度分別為v₁、v₂，
由動能定理得μmgS=

1

2

m

v

21

…①
由機(jī)械能守恒定律  

1

2

m

v

22

=2mgR+

1

2

m

v

21

…②
聯(lián)立①②，得v2=3

gR

…③
（2）設(shè)滑板與物塊達(dá)到共同速度v₃時，位移分別為l₁、l₂，
由動量守恒定律mv₂=（m+M）v_3…④
由動能定理  μmgl1=

1

2

M

v

23

…⑤
-μmgl2=

1

2

m

v

23

-

1

2

m

v

22

…⑥
聯(lián)立③④⑤⑥，得 l₁=2R　　　l₂=8R…⑦
物塊相對滑板的位移△l=l₂-l₁ △l＜l
即物塊與滑板在達(dá)到相同共同速度時，物塊未離開滑板…⑧
物塊滑到滑板右端時
若R＜L＜2R，W_f=μmg（l+L）…⑨
Wf=

1

4

mg(13R+2L)…⑩
若2R≤L＜5R，W_f=μmg（l+l₁）…（11）
Wf=

17

4

mgR…（12）
設(shè)物塊滑到C點(diǎn)的動能為E_k，
由動能定理 -Wf=Ek-

1

2

m

v

22

…（13）
L最小時，克服摩擦力做功最小，因為L＞R，
由③⑩（13）確定E_k小于mgR，則物塊不能滑到CD軌道中點(diǎn)．
答：（1）物塊滑到B點(diǎn)的速度v2=3

gR

     （2）物塊不能滑到CD軌道中點(diǎn)．