Question

如圖，兩塊大金屬板和沿豎直方向平行放置，相距為，兩板間加有恒定電壓，一表面涂有金屬膜的乒乓球垂吊在兩板之間，其質(zhì)量為。輕推乒乓球，使之向其中一金屬板運動，乒乓球與該板碰撞后返回，并與另一板碰撞，如此不斷反復(fù)。假設(shè)乒乓球與兩板的碰撞為非彈性碰撞，其恢復(fù)系數(shù)為，乒乓球與金屬板接觸的時間極短，并在這段時間內(nèi)達(dá)到靜電平衡。達(dá)到靜電平衡時，乒乓球所帶的電荷量與兩極板間電勢差的關(guān)系可表示為，其中為一常量。同時假設(shè)乒乓球半徑遠(yuǎn)小于兩金屬板間距，乒乓球上的電荷不影響金屬板上的電荷分布；連接乒乓球的繩子足夠長，乒乓球的運動可近似為沿水平方向的直線運動；乒乓球第一次與金屬板碰撞時的初動能可忽略，空氣阻力可忽略。試求：

1．乒乓球運動過程中可能獲得的最大動能；

2．經(jīng)過足夠長時間后，通過外電路的平均電流。

Answer 1

1．根據(jù)題意，乒乓球與金屬板第一次碰撞前其動能和速度分別為

                                                                                                     （1）

                                                                                                       （2）

剛碰后，乒乓球帶的電荷量

                                                                                                   （3）

其動能和速度分別為

                                                                                                     （4）

                                                                                                       （5）

此后在電場力作用下乒乓球向另一金屬板加速運動。當(dāng)它到達(dá)另一金屬板，與金屬板第二次碰撞前其動能為

                                                                                          （6）

注意到（3）、（4）式有

                                                                                               （7）

與金屬板第二次碰撞前的速度為

                                                                                                （8）

第二次碰撞后的速度和動能分別

                                                                                                    （9）

                                                                                              （10）

由（9）、（10）式得

                                                                                               （11）

乒乓球與金屬板第三次撞前動能為

                                                                                          （12）

由（3）、（7）（11）、（12）式得

                                                                                     （15）

乒乓球與金屬板第三次碰撞前速度

                                                                                              （16）

乒乓球與金屬板第三次碰撞后的速度和動能分別為

                                                                                                   （17）

                                                                                               （18）

乒乓球與金屬板四次碰撞前的動能

                                                                                          （19）

由（3）、（15）、（18）、（19）式得

                                                                              （20）

乒乓球與金屬板第四次碰撞前速度為

                                                                                               （21）

乒乓球與金屬板第四次碰撞后的速度和動能分別為

                                                                                                    （22）

                                                                                               （23）

以此類推，可得乒乓球與金屬板第次碰撞前、后的動能分別為

                                                                  （24）

                                                                 （25）

即

                                                                                  （26）

                                                                            （27）

對非彈性碰撞，，可由以上兩式看出和均隨碰撞次數(shù)單調(diào)遞增。當(dāng)時有

                                                                                       （28）

                                                                                      （29）

乒乓球運動過程中達(dá)到的最大動能應(yīng)與金屬板碰撞前的極限動能，即

                                                                            （30）

2．經(jīng)過足夠長時間后亦即時，乒乓球在某一次與金屬板碰撞后和下一次碰撞前的速度分別為

                                                                     （31）

                                                                       （32）

此間時間間隔

                                                                                              （33）

因此可得，通過外電路的平均電流強(qiáng)度

                                                                                                       （34）

由（31）、（32）、（33）、（34）各式得

                                                                                   （35）

評分標(biāo)準(zhǔn)：（26）、（27）式或（28）、（29）式共8分，（30）式2分，（31）~（33）式各1分，（35）式2分。