Question

為了探測某星球，載著登陸艙的探測飛船在以該星球中心為圓心，半徑為r₁的圓軌道上運(yùn)動，周期為T₁，總質(zhì)量為m₁，隨后登陸艙脫離飛船，變軌到離星球更近的半徑為r₂的圓軌道上運(yùn)動，登陸艙的質(zhì)量為m₂，則（　　）

• A．該星球的質(zhì)量為M=

  4π2r1

  G T 2 1

• B．該星球表面的重力加速度為g₁=

  4π2r1

  T 2 1

• C．登陸艙在半徑為r₁與半徑為r₂的軌道上運(yùn)動時的速度大小之比為

  v1

  v2

  =

  m1r2 m2r1

• D．登陸艙在半徑為r₂的軌道上做圓周運(yùn)動的周期為T₂=T₁

  r 3 2 r 3 1

Answer 1

分析：研究飛船繞星球做勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式求出中心體的質(zhì)量．
研究登陸艙繞星球做勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式表示出線速度和周期．再通過不同的軌道半徑進(jìn)行比較．

解答：解：A、研究飛船繞星球做勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式：

GMm1

r1

=m1

4π2

T 2 1

r1
得出：M=

4π2 r 3 1

G T 2 1

，故A錯誤；
B、根據(jù)圓周運(yùn)動知識，a=

4π2r1

T 2 1

只能表示在半徑為r₁的圓軌道上向心加速度，而不等于X星球表面的重力加速度，故B錯誤．
C、研究登陸艙繞星球做勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)萬有引力提供向心力有：
在半徑為r的圓軌道上運(yùn)動：

GMm

R2

=

mv2

R

得出：v=

GM R

表達(dá)式里M為中心體星球的質(zhì)量，R為運(yùn)動的軌道半徑．
所以登陸艙在r₁與r₂軌道上運(yùn)動時的速度大小之比為

v1

v2

=

r2 r1

，故C錯誤．
D、研究登陸艙繞星球做勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式：
在半徑為r的圓軌道上運(yùn)動：

GMm

R2

=

m4π2r

T2

得出：T=2π

R3 GM

．
表達(dá)式里M為中心體星球的質(zhì)量，R為運(yùn)動的軌道半徑．所以登陸艙在r₁與r₂軌道上運(yùn)動時的周期大小之比為：

T1

T2

=

r 3 1 r 3 2

所以：T2=T1

r 3 2 r 3 1

，故D正確．
故選：D．

點評：求一個物理量之比，我們應(yīng)該把這個物理量先用已知的物理量表示出來，再進(jìn)行之比．向心力的公式選取要根據(jù)題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應(yīng)用．