Question

如圖所示，在水平 O-xy 坐標平面的第 1 象限上，有一個內外半徑幾乎同為 R、圓心位于 x=R、y=0 處的半圓形固定細管道，坐標平面上有電場強度為E，沿著 y 軸方向的勻強電場。帶電質點 P 在管道內，從 x=0、y=0 位置出發(fā)，在管道內無摩擦地運動，其初始動能為 Eko。P 運動到 x=R、y=R 位置時，其動能減少了二分之一。 

(1)試問 P 所帶電荷是正的，還是負的?為什么?

(2)P 所到位置可用該位置的 x 坐標來標定，試在 2R≥x≥0 范圍內導出 P 的動能 Ek隨 x 變化的函數。 

(3)P 在運動過程中受管道的彈力 N 也許是徑向朝里的(即指向圓心的)，也許是徑向朝外的 (即背離圓心的)。通過定量討論，判定在 2R≥x≥0 范圍內是否存在 N 徑向朝里的 x 取值區(qū)域，若存在，請給出該區(qū)域；繼而判定在 2R≥x≥0 范圍內是否存在 N 徑向朝外的 x 取值區(qū)域，若存在，請給出該區(qū)域。   

Answer 1

解析：（1）帶電質點 P在管道內無摩擦地運動，設電場力做功W=qER，由動能定理，

W-mgR=- Eko。

解得W= mgR-Eko。

若mgR>Eko，W>0，電場力做正功，P 所帶電荷是正的。

若mgR<Eko，W<0，電場力做負功，P 所帶電荷是負的。

(2)設P運動到橫坐標為x，縱坐標為y，由（x-R）2+y2=R2，可得y=。

由動能定理，(qE-mg) y=Ek-- Eko。

解得：Ek= Eko+(qE-mg)。

（3）若P 所帶電荷是正的，根據題述P 運動到 x=R、y=R 位置時，其動能減少了二分之一，可知P所受電場力一定小于重力，

設質點P從開始到運動到縱坐標為y這個范圍內所受管道的彈力 N徑向朝里，恰好運動到縱坐標為y時所受管道的彈力 N為零，則有，

 (mg-qE)cosθ=mv2/R，

cosθ=y/R

-(mg-qE)y=mv2- Eko。

聯立解得：y=

代入（x-R）2+y2=R2，

可得x=R--，x=R+。

在x<R--和x>R+區(qū)域范圍內存在 N 徑向朝里。

在R--<x<R+區(qū)域范圍內存在 N 徑向朝外。

【點評】此題需要通過分析，得出定量關系，討論得出相關區(qū)域范圍，難度較大。由于題目已知量都為字母，運算時要認真細致，確保正確。