Question

19．如圖，容積均為V的汽缸A、B下端有細管（容積可忽略）連通，閥門K₂位于細管的中部，A、B的頂部各有一閥門K₁、K₃，B中有一可自由滑動的活塞（質量、體積均可忽略）．初始時，三個閥門均打開，活塞在B的底部；關閉K₂、K₃，通過K₁給汽缸充氣，使A中氣體的壓強達到大氣壓p₀的3倍后關閉K₁．已知室溫為27℃，汽缸導熱．
（i）打開K₂，求穩(wěn)定時活塞上方氣體的體積和壓強；
（ii）接著打開K₃，求穩(wěn)定時活塞的位置；
（iii）再緩慢加熱汽缸內氣體使其溫度升高20℃，求此時活塞下方氣體的壓強．

Answer 1

分析 （i）分析打開K₂之前和打開K₂后，A、B缸內氣體的壓強、體積和溫度，根據(jù)理想氣體的狀態(tài)方程列方程求解；
（ⅱ）打開K₃，分析活塞下方氣體壓強會不會降至p₀，確定活塞所處位置；
（ⅲ）緩慢加熱汽缸內氣體使其溫度升高，等容升溫過程，由$\frac{{p}_{2}}{T}=\frac{{p}_{3}}{{T}_{3}}$求解此時活塞下方氣體的壓強．

解答 解：（i）打開K₂之前，A缸內氣體p_A=3p₀，B缸內氣體p_B=p₀，體積均為V，溫度均為T=（273+27）K=300K，打開K₂后，B缸內氣體（活塞上方）等溫壓縮，壓縮后體積為V₁，A缸內氣體（活塞下方）等溫膨脹，膨脹后體積為2V-V₁，活塞上下方壓強相等均為p₁，
則：對A缸內（活塞下方）氣體：3p₀V=p₁（2V-V₁），
對B缸內（活塞上方）氣體：p₀V=p₁V₁，
聯(lián)立以上兩式得：p₁=2p₀，V₁=$\frac{1}{2}V$；
即穩(wěn)定時活塞上方體積為$\frac{1}{2}V$，壓強為2p₀；
（ⅱ）打開K₃，活塞上方與大氣相連通，壓強變?yōu)閜₀，則活塞下方氣體等溫膨脹，假設活塞下方氣體壓強可降為p₀，則降為p₀時活塞下方氣體體積為V₂，則3p₀V=p₀V₂，
得V₂=3V＞2V，即活塞下方氣體壓強不會降至p₀，此時活塞將處于B氣缸頂端，缸內氣壓為p₂，3p₀V=p₂×2V，得p₂=$\frac{3}{2}{p}_{0}$，即穩(wěn)定時活塞位于氣缸最頂端；
（ⅲ）緩慢加熱汽缸內氣體使其溫度升高，等容升溫過程，升溫后溫度為T₃=（300+20）K=320K，由$\frac{{p}_{2}}{T}=\frac{{p}_{3}}{{T}_{3}}$得：p₃=1.6p₀，即此時活塞下方壓強為1.6p₀．
答：（i）打開K₂，穩(wěn)定時活塞上方氣體的體積為$\frac{1}{2}V$，壓強為2p₀；
（ii）打開K₃，穩(wěn)定時位于氣缸最頂端；
（iii）緩慢加熱汽缸內氣體使其溫度升高20℃，此時活塞下方氣體的壓強為1.6p₀．

點評 本題主要是考查了理想氣體的狀態(tài)方程；解答此類問題的方法是：找出不同狀態(tài)下的三個狀態(tài)參量，分析理想氣體發(fā)生的是何種變化，利用理想氣體的狀態(tài)方程列方程求解；本題要能用靜力學觀點分析各處壓強的關系，要注意研究過程中哪些量不變，哪些量變化，選擇合適的氣體實驗定律解決問題．