Question

設(shè)一條河寬L，水流速度為，船在靜水中的速度為．那么：

(1)怎樣渡河時間最短?最短時間是多少?

(2)若＜，怎樣渡河航程最短?

(3)若＞，怎樣渡河船漂下的距離最短?

Answer 1

答案：略
解析：

(1)如圖甲所示，設(shè)船頭斜向上游與河岸成角，這時船速在y方向的速度分量為，渡河所需時間為：． 可以看出：在L與一定時，t隨sin的增大而減小；當(dāng)90°時，sin1(最大)，所以，船頭與河岸垂直時，渡河時間最短，且為． (2)如圖乙所示，為了使船渡河的航程最短，必須使船的合速度v的方向與河岸垂直，這時船頭指向上游，并與河岸成一定的角度，則有：，所以 因為0≤cos≤1，所以只有在＜時，船才有可能垂直河岸渡河． (3)當(dāng)＞，則不論船向如何，總被水流沖向下游． 如圖丙所示，設(shè)船頭()與河岸成角，合速度v與河岸成α角，可以看出：α角越大，船漂下的距離x越短． 那么，在什么條件下α角最大呢?以的箭尾為圓心，以的大小為半徑畫圓，當(dāng)v與圓相切時，α角最大．根據(jù)得船頭與河岸的夾角應(yīng)為： 船漂的最短距離由得． (1)船頭與河岸垂直時，渡河時間最短，且為． (2)當(dāng)船頭指向上游且與河岸成夾角時，船垂直河岸渡河． (3)當(dāng)船頭與河岸成夾角時，船漂的距離最短．

提示：

由于運動的獨立性原理，水流方向沿河岸，與過河時間無關(guān)，過河時間只與船的實際速度沿垂直河岸方向的分量有關(guān)．因此要船最短時間過河，船頭應(yīng)垂直指向?qū)Π叮�但船的航線并不垂直指向?qū)Π叮畬τ诖�過河這類問題，一般記住兩個結(jié)論：①要使過河時間最短，則垂直河岸方向的分速度須最大；②要能垂直到達對岸，則合速度須垂直河岸．