Question

10．如圖所示，一根輕彈簧左端固定于豎直墻上，右端被質量m=1kg可視為質點的小物塊壓縮而處于靜止狀態(tài)，且彈簧與物塊不栓接，彈簧原長小于光滑平臺的長度．在平臺的右端有一傳送帶，AB長L=5m，物塊與傳送帶間的動摩擦因數(shù)μ₁=0.2，與傳送帶相鄰的粗糙水平面BC長s=1.5m，它與物塊間的動摩擦因數(shù)μ₂=0.3，在C點右側有一半徑為R的光滑豎直圓弧與BC平滑連接，圓弧對應的圓心角為θ=120°，在圓弧的最高點F處有一固定擋板，物塊撞上擋板后會以原速率反彈回來．若傳送帶以v=5m/s的速率順時針轉動，不考慮物塊滑上和滑下傳送帶的機械能損失．當彈簧儲存的E_p=18J能量全部釋放時，小物塊恰能滑到與圓心等高的E點，取g=10m/s²．
（1）求右側圓弧的軌道半徑為R；
（2）求小物塊最終停下時與C點的距離；
（3）若傳送帶的速度大小可調，欲使小物塊與擋板只碰一次，且碰后不脫離軌道，求傳送帶速度的可調節(jié)范圍．

Answer 1

分析 （1）根據能量守恒定律求出物塊被彈簧彈出時的速度大小，物塊滑上傳送帶后先做勻減速直線運動，當速度達到傳送帶速度后一起做勻速直線運動，結合運動學公式得出物塊離開傳送帶后的速度，結合動能定理求出圓弧軌道的半徑．
（2）根據動能定理求出物塊返回到B點的速度，物塊再次滑上傳送帶后，先做勻減速速度減為零，然后反向加速，結合動能定理求出小物塊停下時距離C點的距離．
（3）若物塊恰好到達F點，結合牛頓第二定律求出F點的速度，對BF段運用動能定理，求出物塊離開傳送帶的速度，得出傳送帶的最小速度；若物塊撞擋板后再次上滑到E點，結合動能定理求出傳送帶的速度，與物塊在傳送帶一直加速時傳送帶的最大速度進行比較，得出傳送帶的最大速度，從而得出傳送帶速度可調節(jié)的范圍．

解答 解：（1）物塊被彈簧彈出，由${E}_{p}=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$可知：${v}_{0}=\sqrt{\frac{2{E}_{p}}{m}}=\sqrt{\frac{2×18}{1}}m/s=6m/s$，
因為v₀＞v，故物塊滑上傳送帶后做減速物塊與傳送帶相對滑動過程中，
由：μ₁mg=ma₁，v=v₀-a₁t₁，${x}_{1}={v}_{0}{t}_{1}-\frac{1}{2}{a}_{1}{{t}_{1}}^{2}$，代入數(shù)據得到：
${a}_{1}=2m/{s}^{2}$，t₁=0.5s，x₁=2.75m，
因為x₁＜L，故物塊與傳送帶同速后相對靜止，最后物塊以5m/s的速度滑上水平面BC，物塊滑離傳送帶后恰到E點，由動能定理可知：$\frac{1}{2}m{v}^{2}={μ}_{2}mgs+mgR$，
代入數(shù)據整理可以得到：R=0.8m．
（2）設物塊從E點返回至B點的速度為v_B，由$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}={μ}_{2}mg×2s$，
代入數(shù)據得到${v}_{B}=\sqrt{7}m/s$，因為v_B＞0，故物塊會再次滑上傳送帶，物塊在恒定摩擦力的作用下先減速至0再反向加速，由運動的對稱性可知其以相同的速率離開傳送帶，設最終停在距C點x處，由$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}={μ}_{2}mg（s-x）$，
代入數(shù)據得到：x=$\frac{1}{3}m$．
（3）設傳送帶速度為v₁時物塊能恰到F點，在F點滿足$mgsin30°=m\frac{{{v}_{F}}^{2}}{R}$，
從B到F過程中由動能定理可知：$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{F}}^{2}$=μ₂mgs+mg（R+Rsin30°），
代入數(shù)據解得：${v}_{1}=\sqrt{37}$m/s，
設傳送帶速度為v₂時，物塊撞擋板后返回能再次上滑恰到E點，
有：$\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}={μ}_{2}mg×3s+mgR$
代入數(shù)據解得：${v}_{2}=\sqrt{43}m/s$．
若物塊在傳送帶上一直加速運動，由$\frac{1}{2}m{{v}_{Bm}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}={μ}_{1}mgL$知其到B點的最大速度${v}_{Bm}=\sqrt{56}m/s$，
綜合上述分析可知，只要傳送帶速度$\sqrt{37}m/s≤v≤\sqrt{43}m/s$就滿足條件．
答：（1）右側圓弧的軌道半徑為R為0.8m；
（2）小物塊最終停下時與C點的距離為$\frac{1}{3}m$；
（3）傳送帶速度的可調節(jié)范圍為$\sqrt{37}m/s≤v≤\sqrt{43}m/s$．

點評 本題綜合考查了動能定理、能量守恒、牛頓第二定律和運動學公式的運用，關鍵理清物塊在整個過程中的運動規(guī)律，選擇合適的規(guī)律進行求解，對于第三問，關鍵抓住兩個臨界狀態(tài)，選取研究的過程，運用動能定理進行求解．