Question

宇航員到達(dá)某行星表面后，用長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)線拴一小球，讓球在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)．他測(cè)得當(dāng)球通過(guò)最高點(diǎn)的速度為v₀時(shí)，繩中張力剛好為零．設(shè)行星的半徑為R、引力常量為G，求：
（1）該行星表面的重力加速度大小
（2）該行星的質(zhì)量
（3）在該行星表面發(fā)射衛(wèi)星所需要的最小速度．

Answer 1

（1）由題意知：球在最高點(diǎn)只受重力作用，設(shè)小球的質(zhì)量為m，
由牛頓第二定律得：mg=m

v 20

L

，解得：g=

v 20

L

             ①．
（2）對(duì)行星表面的任一物體m′所受到的重力等于物體與行星間的萬(wàn)有引力，
設(shè)行星質(zhì)量為M，則m′g=G

m′M

R2

            ②，
由①②解得行星的質(zhì)量M=

v 20 R2

GL

（3）對(duì)衛(wèi)星，繞行星表面做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由萬(wàn)有引力即重力提供，
由牛頓第二定律得：mg=m

v2

R

    ③，由①③解得：v=v₀

R L

．
答：（1）該行星表面的重力加速度大小是

v 20

L

．     
（2）該行星的質(zhì)量是

v 20 R2

GL

．
（3）在該行星表面發(fā)射衛(wèi)星所需要的最小速度是v₀

R L

．