Question

12．如圖所示，在一底邊長(zhǎng)為2L，θ=45⁰的等腰三角形區(qū)域內(nèi)（O為底邊中點(diǎn)）有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子從靜止開(kāi)始經(jīng)過(guò)電勢(shì)差為U的電場(chǎng)加速后，從O點(diǎn)垂直于AB進(jìn)入磁場(chǎng)，不計(jì)粒子重力與空氣阻力的影響．
（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度B為多大時(shí)，粒子能以最大的圓周半徑偏轉(zhuǎn)后打到OA板上；
（2）增加磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，可以延長(zhǎng)粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的極限時(shí)間．（不計(jì)粒子與AB板碰撞的作用時(shí)間，設(shè)粒子與AB板碰撞前后，電量保持不變并以相同的速率反彈）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求出粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度，結(jié)合幾何關(guān)系求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑，結(jié)合半徑公式求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的大�。�
（2）粒子速率恒定，從進(jìn)入磁場(chǎng)到第一次打到ED板的圓周軌跡到EC邊相切時(shí)，路程最長(zhǎng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，結(jié)合幾何關(guān)系求出粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的弧長(zhǎng)求出最長(zhǎng)時(shí)間．

解答 解：（1）粒子在電場(chǎng)中加速，由動(dòng)能定理得：qU=$\frac{1}{2}$mv²，
要使粒子半徑最大，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡應(yīng)與AC相切，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：

由幾何知識(shí)可得：R+$\frac{R}{sinθ}$=L，
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提向心力，由牛頓第二定律得：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：B=$\frac{（1+\sqrt{2}）\sqrt{2mqU}}{qL}$；
（2）粒子運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r，r越小最后一次打在AB板的點(diǎn)越靠近A端點(diǎn)，在磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)的累積路程越長(zhǎng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng)，r為無(wú)窮小時(shí)，經(jīng)過(guò)n個(gè)半圓周，最后一次打在A點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：

則：n=$\frac{L}{2r}$，圓周運(yùn)動(dòng)周期：T=$\frac{2πr}{v}$，
最長(zhǎng)的極限時(shí)間：t_m=n$\frac{T}{2}$=$\frac{πL}{2}$$\sqrt{\frac{m}{2qU}}$；
答：（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度B為$\frac{（1+\sqrt{2}）\sqrt{2mqU}}{qL}$時(shí)，粒子能以最大的圓周半徑偏轉(zhuǎn)后打到OA板上；
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的極限時(shí)間為$\frac{πL}{2}$$\sqrt{\frac{m}{2qU}}$．

點(diǎn)評(píng) 處理帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，關(guān)鍵作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，會(huì)確定圓周運(yùn)動(dòng)的圓心、半徑、圓心角，結(jié)合半徑公式、周期公式進(jìn)行求解．