Question

如圖16-4-14所示，半徑為R的光滑圓形軌道固定在豎直面內(nèi).小球A、B質量分別為m、βm(β為待定系數(shù)).A球從左邊與圓心等高處由靜止開始沿軌道下滑，與靜止于軌道最低點的B球相撞，碰撞后A、B球能達到的最大高度均為R，碰撞中無機械能損失.重力加速度為g.試求：

圖16-4-14

(1)待定系數(shù)β；

(2)第一次碰撞剛結束時小球A、B各自的速度和B球對軌道的壓力；

(3)小球A、B在軌道最低處第二次碰撞剛結束時各自的速度，并討論小球A、B在軌道最低處第n次碰撞剛結束時各自的速度.

Answer 1

解析：碰撞中無機械能，可根據(jù)機械能守恒定律計算出系數(shù)β；根據(jù)機械能守恒可計算出碰撞后兩球的速度，應用牛頓第二定律可計算B球對軌道的壓力；根據(jù)碰撞中動量守恒小球A、B在軌道最低處第二次碰撞剛結束時各自的速度，然后根據(jù)實際情景進行分析討論.

(1)由mgR=+，得β=3

(2)設A、B碰撞后的速度分別為v₁，v₂，則

mv₁²=

βmv₂²=

設向右為正、向左為負，解得

v₁=-，方向向左

v₂=，方向向右

設軌道對B球的支持力為N′，方向豎直向上為正，豎直向下為負

即N-βmg=βm

N′=-N=-4.5 mg，方向豎直向下

(3)設A、B球第二次碰撞剛結束時的速度分別為v₁、v₂，則

-mv₁-βmg=mv₁+βmv₂

mgR=mv₁²+βmv₂²

解得：v₁=-,v₂=0

(另一組解：v₁=-v₁,v₂=-v₂不合題意，舍去)

由此可得：

當n為奇數(shù)時，小球A、B在第n次碰撞剛結束時的速度分別與其第一次碰撞剛結束時相同；

當n為偶數(shù)時，小球A、B在第n次碰撞剛結束時的速度分別與其第二次碰撞剛結束時相同.