Question

如圖甲，在x＞0的空間中存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場和垂直于xoy平面向里的勻強(qiáng)磁場，電場強(qiáng)度大小為E，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．一質(zhì)量為m，帶電量為q（q＞0）的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O處，以初速度v₀沿x軸正方向射入，粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡見圖甲，不計(jì)粒子的重力．
（1）求該粒子運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)=h時(shí)的速度大小v；
（2）現(xiàn)只改變?nèi)肷淞Ｗ映跛俣鹊拇笮�，發(fā)現(xiàn)初速度大小不同的粒子雖然運(yùn)動(dòng)軌跡（y-x曲線）不同，但具有相同的空間周期性，如圖乙所示；同時(shí)，這些粒子在y軸方向上的運(yùn)動(dòng)（y-t關(guān)系）是簡諧運(yùn)動(dòng)，且都有相同的周期T=

2πrn

qB

．
Ⅰ．求粒子在一個(gè)周期T內(nèi)，沿x軸方向前進(jìn)的距離S；
Ⅱ．當(dāng)入射粒子的初速度大小為v₀時(shí)，其y-t圖象如圖丙所示，求該粒子在y軸方向上做簡諧運(yùn)動(dòng)的振幅A，并寫出y-t的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

（1）由于洛倫茲力不做功，只有電場力做功，
由動(dòng)能定理有-qEh=

1

2

mv2-

1

2

m

v

20

①
由①式解得                     
 v=

v 20 - 2qEh m

②
（2）Ⅰ．由圖乙可知，所有粒子在一個(gè)周期T內(nèi)沿x軸方向前進(jìn)的距離相同，
即都等于恰好沿x軸方向勻速運(yùn)動(dòng)的粒子在T時(shí)間內(nèi)前進(jìn)的距離．
設(shè)粒子恰好沿x軸方向勻速運(yùn)動(dòng)的速度大小為v₁，則
qv₁B=qE                            ③
又  S=v₁T                               ④
式中 T=

2πm

qB

由③④式解得                    
 S=

2πmE

qB2

⑤
Ⅱ．設(shè)粒子在y軸方向上的最大位移為y_m（圖丙曲線的最高點(diǎn)處），對應(yīng)的粒子運(yùn)動(dòng)速度大小為v₂（方向沿x軸），因?yàn)榱Ｗ釉趛方向上的運(yùn)動(dòng)為簡諧運(yùn)動(dòng)，因而在y=0和y=y_m處粒子所受的合外力大小相等，方向相反，
則
qv₀B-qE=-（qv₂B-qE）          ⑥
由動(dòng)能定理有     -qEym=

1

2

m

v

22

-

1

2

m

v

20

⑦
又   Ay=

1

2

ym⑧
由⑥⑦⑧式解得                      
Ay=

m

qB

(v0-

E

B

)
可寫出圖丙曲線的簡諧運(yùn)動(dòng)y-t函數(shù)表達(dá)式為y=

m

qB

(v0-

E

B

)(1-cos

qB

m

t)．