Question

如圖所示，用長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)線一端系住質(zhì)量為m的小球，另一端固定在A點(diǎn)，AB是過(guò)A的豎直線，E為AB上的一點(diǎn)，且AE=0.5L，過(guò)E作水平線EF，在EF上可以釘鐵釘D，現(xiàn)將細(xì)線水平拉直，然后小球由靜止釋放。不計(jì)一切摩擦，不計(jì)線與釘子碰撞時(shí)的能量損失,求：

（1）若無(wú)鐵釘D，小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)B時(shí)細(xì)線的拉力T_B=?

（2）若釘上鐵釘D且線拉力足夠大，使小球恰能繞釘子在豎直面內(nèi)做完整圓周運(yùn)動(dòng)，則釘子D 與點(diǎn)E 距離DE=？

（3）釘鐵釘D后，若線能承受的最大拉力是9mg，小球能繞釘子在豎直面內(nèi)做完整圓周運(yùn)動(dòng)，ED取值范圍是多少？

Answer 1

 這是一個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)與機(jī)械能兩部分知識(shí)綜合應(yīng)用的典型問(wèn)題．題中涉及兩個(gè)臨界條件：一是線承受的最大拉力不大于9mg；另一個(gè)是在圓周運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)的瞬時(shí)速度必須不小于（r是做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑）．設(shè)在D點(diǎn)繩剛好承受最大拉力，設(shè)DE=x₁，則：AD=

懸線碰到釘子后，繞釘做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為：r₁=l－AD= l－……①（2分）

(1)  取B點(diǎn)E_P=0

T_B-mg=m

mgL=mv²

則T_B=3mg

（1）設(shè)釘子在G點(diǎn)小球剛能繞釘做圓周運(yùn)動(dòng)到達(dá)圓的最高點(diǎn)，設(shè)EG=x₂，如圖，則：AG=

r₂=l－AG= l－…………………………⑥（1分）

在最高點(diǎn)：mg≤……………………………⑦（1分）

由機(jī)械能守恒定律得：mg (r₂)=mv₂²…………⑧（1分）

由④⑤⑥聯(lián)立得：x₂≥l…………………………⑨（2分）

（2）當(dāng)小球落到D點(diǎn)正下方時(shí)，繩受到的最大拉力為F，此時(shí)小球的速度v，由牛頓第二定律有：

F－mg=…………………………………………②（1分）

結(jié)合F≤9mg可得：≤8mg……………………③（1分）

由機(jī)械能守恒定律得：mg (+r₁)=mv₁²

即：v²=2g(+r₁) ………………………………④（1分）

由①②③式聯(lián)立解得：x₁≤l…………………⑤（2分）

隨著x的減小，即釘子左移，繞釘子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑越來(lái)越大．轉(zhuǎn)至最高點(diǎn)的臨界速度也越來(lái)越大，但根據(jù)機(jī)械能守恒定律，半徑r越大，轉(zhuǎn)至最高點(diǎn)的瞬時(shí)速度越小，當(dāng)這個(gè)瞬時(shí)速度小于臨界速度時(shí)，小球就不能到達(dá)圓的最高點(diǎn)了．

在水平線上EF上釘子的位置范圍是：l≤x≤l（2分）