Question

12．如圖甲所示是最近市面上出現(xiàn)的一種兒童玩具“魔力飛轉(zhuǎn)陀螺，”陀螺可繞豎直放置的金屬軌道內(nèi)外側(cè)轉(zhuǎn)動并發(fā)出彩色光芒，十分新奇，因此深受小孩子的喜愛，其物理原理如下：用特殊磁性材料制成的兩金屬圓軌豎直并排放置，用連接桿引出后固定在手柄上，陀螺中心兩側(cè)裝有金屬小桿，放置在兩軌之間時恰好被吸引在兩軌上；給陀螺一定的初速度，陀螺就可繞軌道做圓周運(yùn)動，現(xiàn)使陀螺吸在軌道外側(cè)繞軌道做圓周運(yùn)動，如圖乙所示，已知兩金屬軌道半徑為R，陀騾質(zhì)量為m，兩軌道對陀螺的總吸引力陀螺自身重力的3倍，重力加速度為g，不考慮陀螺自身的旋轉(zhuǎn)和陀螺中心兩側(cè)的金屬小桿的粗細(xì)．
（1）若陀螺經(jīng)過軌道最高點的速度為v，求每根軌道受到的彈力；
（2）實際發(fā)現(xiàn)，當(dāng)陀螺繞軌道外側(cè)運(yùn)動時，速度不能太大，負(fù)責(zé)會飛離軌道，分別求陀螺在最高點和最低點的最大速度大�。�

Answer 1

分析 （1）對陀螺受力分析，分析最高點的向心力來源，根據(jù)向心力公式即可求解；
（2）在最高點和最低點速度最大的臨界條件是支持力為0，根據(jù)向心力公式分別求出最高點和最低點的最大速度；

解答 解：（1）${F}_{向}^{\;}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
受力分析可知$mg+{F}_{引}^{\;}-{F}_{N}^{\;}$=$mg+3mg-{F}_{N}^{\;}$=$4mg-{F}_{N}^{\;}$提供向心力
$4mg-{F}_{N}^{\;}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
得${F}_{N}^{\;}=4mg-m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
每根軌道受到的彈力${F}_{N}^{′}=\frac{1}{2}{F}_{N}^{\;}$=$2mg-\frac{{v}_{\;}^{2}}{2R}$
（2）當(dāng)提供的向心力不及所需，離心運(yùn)動${F}_{N}^{\;}=0$
①最高點
${F}_{max}^{\;}=3mg+mg=4mg=m\frac{{v}_{max}^{2}}{R}$
此時${v}_{max}^{\;}=2\sqrt{gR}$
②最低點
${F}_{max}^{\;}=3mg-mg=2mg=m\frac{{v}_{max}^{2}}{R}$
此時${v}_{max}^{\;}=\sqrt{2gR}$
答：（1）若陀螺經(jīng)過軌道最高點的速度為v，每根軌道受到的彈力為$2mg-\frac{{v}_{\;}^{2}}{2R}$；
（2）實際發(fā)現(xiàn)，當(dāng)陀螺繞軌道外側(cè)運(yùn)動時，速度不能太大，負(fù)責(zé)會飛離軌道，陀螺在最高點的最大速度為$2\sqrt{gR}$，最低點的最大速度大小為$\sqrt{2gR}$

點評 本題考查豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動的情況，在解答的過程中正確分析得出小球經(jīng)過最高點和最低點的條件是解答的關(guān)鍵，正確寫出向心力的表達(dá)式是解答的基礎(chǔ)．