Question

12．如圖所示，電阻不計足夠長的光滑平行金屬導軌與水平面夾角θ=30°，導軌間距l(xiāng)，所在平面的正方形區(qū)域abcd內(nèi)存在有界勻強磁場，磁感應強度為B=0.2T，方向垂直斜面向上．甲、乙金屬桿質(zhì)量均為m=0.02kg、電阻相同，甲金屬桿處在磁場的上邊界，乙金屬桿距甲也為l，其中l(wèi)=0.4m．同時無初速釋放兩金屬桿，此刻在甲金屬桿上施加一個沿著導軌的外力F，保持甲金屬桿在運動過程中始終與乙金屬桿未進入磁場時的加速度相同．（取g=10m/s²）
（1）乙金屬桿剛進入磁場后做勻速運動，分析甲金屬桿所在的位置并計算乙的電阻R為多少？
（2）以剛釋放時t=0，寫出從開始到甲金屬桿離開磁場，外力F隨時間t的變化關(guān)系，并說明F的方向．
（3）若從開始釋放到乙金屬桿離開磁場，乙金屬桿中共產(chǎn)生熱量Q=$\frac{1}{30}$J，試求此過程中外力F對甲做的功．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意得到甲乙加速度相同，都是5m/s²，當乙進入磁場時，甲剛出磁場，由運動學公式求出乙進入磁場時的速度，乙金屬桿剛進入磁場時作勻速運動，根據(jù)安培力的公式和平衡條件可求出甲乙的電阻R．
（2）甲在磁場中運動做勻加速運動，由速度公式得到速度與時間的關(guān)系式，根據(jù)牛頓第二定律求解外力F隨時間t的變化關(guān)系．
（3）乙進入磁場前，甲乙發(fā)出相同熱量．甲一直在磁場中時，外力F始終等于安培力，克服安培力做功等于甲乙產(chǎn)生的總熱量；乙在磁場中運動時，根據(jù)動能定理求出乙放出的熱量，即可求出甲乙發(fā)出的熱量，再求出外力做功．

解答 解：（1）甲乙加速度相同（5m/s²），當乙進入磁場時，甲剛出磁場
乙進入磁場時速度 v=$\sqrt{2glsinθ}$=$\sqrt{2×10×0.4×0.5}$=2m/s ①
乙受力平衡 mgsinθ=F=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}v}{2R}$ ②
R=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}v}{2mgsinθ}$=$\frac{0．{2}^{2}×0．{4}^{2}×2}{2×0.02×10×0.5}$=0.064Ω
（2）甲在磁場中運動時，v=at=5t          ③
外力F始終等于安培力，F(xiàn)=F_A=BIl=B$\frac{Blv}{2R}$l=0.25t    ④
F方向沿導軌向下                       
（3）乙進入磁場前，甲乙發(fā)出相同熱量，設為Q₁．
此過程中甲一直在磁場中，外力F始終等于安培力，則有W_F=W_安=2 Q₁ ⑥
乙在磁場中運動發(fā)出熱量Q₂，
利用動能定理mglsinθ-2 Q₂=0                                
得Q₂=0.02J        ⑦
甲乙發(fā)出相同熱量Q₁=$\frac{1}{2}$（Q-Q₂）=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{30}$-0.02）=0.0133J                         
由于甲出磁場以后，外力F為零．得W_F=2 Q₁=0.0266J      
答：
（1）甲乙的電阻R為0.064Ω．
（2）從開始到甲金屬桿離開磁場，外力F隨時間t的變化關(guān)系為F=0.25t，F(xiàn)的方向沿導軌向下．
（3）此過程中外力F對甲做的功為0.0267J．

點評 本題是復雜的電磁感應現(xiàn)象，是電磁感應與力學知識的綜合，分析導體棒的運動情況，要抓住甲勻加速運動的過程中，外力與安培力大小相等．分別從力和能量兩個角度進行研究．