Question

某行星繞太陽運行的橢圓軌道如圖甲所示，F₁、F₂是橢圓軌道的兩個焦點，太陽在焦點F₁上，A、B兩點是焦點F₁和F₂的連線與橢圓軌道的交點．已知A到F₁的距離為a，B到F₁的距離為b，則行星在A、B兩點處的速率之比是多少？

Answer 1

答案：
解析：

　　結合開普勒第二定律與數學幾何知識求解．

　　方法一：根據開普勒行星運動的第二定律，設在時間Δt內，行星在A、B兩點處與太陽連線所掃過的面積相等，如乙圖中的陰影部分所示．當Δt很小時，則行星運動軌道的弧線很短，可認為是線段，陰影部分的形狀可近似為直角三角形，所以有

　　得．

　　方法二：行星在橢圓軌道上A、B兩點的速度方向均與萬有引力方向垂直，故萬有引力提供向心力．設R_a、R_b為A、B兩點的曲率半徑．

　　�、�

　　　②

　　由A、B兩點的對稱性，說明R_A＝R_B

　　故①÷②得

提示：

　　方法一利用了開普勒行星運動第二定律，此處應用了微元法．

　　方法二利用了橢圓軌道A、B兩個對稱點的曲率半徑相等．不少學生容易錯誤地認為A點處的半徑為a，B點處的半徑為b，從而得出了的錯誤結果．