Question

7．2015年亞洲極限滑板邀請賽在合肥之心城購物中心外廣場火熱上演，頂尖高手齊聚霸都帶來極限盛宴．如圖所示，滑板軌道BC為豎直平面內(nèi)的四分之一圓弧賽道，半徑為R=1.8m，ABC為光滑軌道，且水平軌道AB與圓弧BC在B點相切．若運(yùn)動員的質(zhì)量M=48.0kg，滑板質(zhì)量m=2.0kg，二者均可視為質(zhì)點，重力加速度g取值10m/s²，不計空氣阻力求：
（1）運(yùn)動員和滑板在A點的速度至少多大才能滑道C點；
（2）以第一問速度v運(yùn)動，滑過圓弧形軌道B點時對軌道的壓力；
（3）若A點右側(cè)為μ=0.3的水泥地面，則滑回后運(yùn)動員與滑板停在距A點多遠(yuǎn)的距離．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)動員和滑板從A運(yùn)動到C的過程，只有重力做功，運(yùn)用機(jī)械能守恒定律求在A點的速度．
（2）在C點，由重力和軌道的支持力的合力提供向心力，由牛頓第二定律求出支持力，從而得到壓力．
（3）對運(yùn)動員從C點滑下到停止運(yùn)動的整個過程，運(yùn)用動能定理求滑板在A點右側(cè)滑行的距離．

解答 解：（1）運(yùn)動員和滑板從A運(yùn)動到C的過程，只有重力做功，機(jī)械能守恒定律，則有
  $\frac{1}{2}（M+m）{v}_{A}^{2}$=（M+m）gR
解得 v_A=$\sqrt{2gR}$=6m/s
（2）運(yùn)動員經(jīng)過B點時的速度 v_B=v_A=6m/s
在B點，由牛頓第二定律得
  N-（M+m）g=（M+m）$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
解得 N=1500N
由牛頓第三定律知，運(yùn)動員滑過圓弧形軌道B點時對軌道的壓力大小為1500N，方向豎直向下．
（3）設(shè)滑回后運(yùn)動員與滑板停在距A點的距離為x．
對運(yùn)動員從C點滑下到停止運(yùn)動的整個過程，運(yùn)用動能定理得
  （M+m）gR-μ（M+m）gx=0
解得 x=6m
答：
（1）運(yùn)動員和滑板在A點的速度至少6m/s才能滑道C點；
（2）以第一問速度v運(yùn)動，滑過圓弧形軌道B點時對軌道的壓力大小為1500N，方向豎直向下；
（3）若A點右側(cè)為μ=0.3的水泥地面，則滑回后運(yùn)動員與滑板停在距A點6m的距離．

點評 本題要分段進(jìn)行分析，圓弧段運(yùn)用機(jī)械能守恒定律，水平軌道上A點右側(cè)段運(yùn)用動能定理．從C到停止運(yùn)動的整個過程也可以運(yùn)用動能定理．