Question

3．如圖所示，一半徑R=0.8m的圓盤水平放置，在其邊緣E點(diǎn)固定一小桶（可視為質(zhì)點(diǎn)），在圓盤直徑DE的正上方平行放置一水平滑道BC，已知滑塊與滑道BC間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5．滑道右端C點(diǎn)與圓盤圓心O在同一豎直線上，且豎直高度h=0.8m．AB為一豎直面內(nèi)的$\frac{1}{4}$圓弧軌道，半徑r=0.45m，且與水平滑道相切與B點(diǎn)．一質(zhì)量m=0.2kg的滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）從A點(diǎn)由靜止釋放，當(dāng)滑塊經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)對B點(diǎn)壓力為6N．物塊滑過BC段后由C點(diǎn)水平拋出，此時(shí)，圓盤從圖示位置以一定的角速度ω繞通過圓心的豎直軸開始勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，最終物塊恰好落入圓盤邊緣的小桶內(nèi)．（取g=10m/s²）求：
（1）滑塊到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度；
（2）滑塊在AB段克服摩擦力所做的功
（3）水平滑道BC的長度；
（4）圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度應(yīng)ω滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）滑塊在B點(diǎn)時(shí)，由指向圓心的合力充當(dāng)向心力，根據(jù)牛頓第二定律求得滑塊到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度．
（2）滑塊從A到B的過程，由動(dòng)能定理求克服摩擦力所做的功．
（3）滑塊離開C后做平拋運(yùn)動(dòng)，要恰好落入圓盤邊緣的小桶內(nèi)，水平位移大小等于圓盤的半徑R，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求得滑塊經(jīng)過C點(diǎn)的速度，根據(jù)動(dòng)能定理研究BC過程，從而求得BC的長度；
（4）滑塊從C運(yùn)動(dòng)到小桶的總時(shí)間等于圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間，根據(jù)周期性求解ω應(yīng)滿足的條件．

解答 解：（1）在B點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律可得：F_N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
據(jù)題得 F_N=4N
代入數(shù)據(jù)解得：v_B=3m/s    
（2）滑塊從A到B的過程，由動(dòng)能定理得
   mgr-W_f=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
解得克服摩擦力所做的功  W_f=0
（3）滑塊離開C后做平拋運(yùn)動(dòng)，有：h=$\frac{1}{2}$gt²．
解得：t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×0.8}{10}}$s=0.4s
滑塊經(jīng)過C點(diǎn)的速度為：v_C=$\frac{R}{t}$=$\frac{0.8}{0.4}$m/s=2m/s
滑塊由B點(diǎn)到C點(diǎn)的過程中，由動(dòng)能定理得：-μmgL_BC=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：L_BC=0.5m
（4）圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω應(yīng)滿足條件：t=nT=n$\frac{2π}{ω}$
則ω=$\frac{2nπ}{t}$=5nπ rad/s （n=1、2、3 …） 
答：
（1）滑塊到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度為3m/s；
（2）滑塊在AB段克服摩擦力所做的功為0；
（3）水平滑道BC的長度為0.5m；
（4）圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度應(yīng)ω滿足的條件為5nT （n=1、2、3…）．

點(diǎn)評 本題主要考查了牛頓第二定律和平拋運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵是抓住圓盤與滑塊運(yùn)動(dòng)的同時(shí)性，把握圓周運(yùn)動(dòng)的周期性．