Question

18．伽利略在研究運(yùn)動(dòng)和力的關(guān)系時(shí)，曾經(jīng)考慮了一個(gè)無(wú)摩擦的理想實(shí)驗(yàn)：如圖所示，在A點(diǎn)處懸掛一個(gè)擺球，將擺球拉至B點(diǎn)處放手，擺球?qū)�擺到與B等高的C處；假若在A點(diǎn)正下方的E處釘一釘子，擺球的運(yùn)動(dòng)路徑會(huì)發(fā)生改變，但仍能升到與開(kāi)始等高的D處．如果圖中的擺線(xiàn)長(zhǎng)為l，初始時(shí)刻擺線(xiàn)與豎直線(xiàn)之間的夾角為60°，重力加速度為g．求：
（1）擺球擺到最低點(diǎn)O時(shí)速度的大小；
（2）將E處的釘子下移，當(dāng)釘子與A的距離至少多大時(shí)，擺球擺下后能在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)．

Answer 1

分析 （1）擺球下擺的過(guò)程，只有重力做功，其機(jī)械能守恒，通過(guò)機(jī)械能守恒定律求解；
（2）先由牛頓第二定律求得圓周運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)的速度，然后根據(jù)機(jī)械能守恒通過(guò)O點(diǎn)速度求解圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，即可求得距離．

解答 解：（1）擺球運(yùn)動(dòng)過(guò)程無(wú)摩擦，故只有重力做功，那么機(jī)械能守恒；設(shè)小球的質(zhì)量為m，則有：
mgl（1-cos60°）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$；
解得：v=$\sqrt{gl}$；
（2）設(shè)小球恰能通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，其軌道半徑為R，在最高點(diǎn)處，由牛頓第二定律得：
mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$；
從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)由動(dòng)能定理得：-2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{1}{2}mgR$-$\frac{1}{2}mgl$；
解得：R=$\frac{l}{5}$；
所以有：AE=l-$\frac{l}{5}$=$\frac{4l}{5}$；
答：（1）擺球擺到最低點(diǎn)O時(shí)速度的大小為$\sqrt{gl}$；
（2）將E處的釘子下移，當(dāng)釘子與A的距離至少為$\frac{4l}{5}$時(shí)，擺球擺下后能在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)．

點(diǎn)評(píng) 力學(xué)問(wèn)題一般先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運(yùn)動(dòng)過(guò)程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動(dòng)能定理及幾何關(guān)系求解．