Question

20．質(zhì)量為m，電量為q的正離子以速度v₀從A點(diǎn)對(duì)著圓心進(jìn)入一半徑為R的金屬圓筒中，如圖所示，求B滿足什么條件時(shí)該粒子與圓筒發(fā)生彈性碰撞后仍然從A點(diǎn)射出？（假設(shè)碰撞時(shí)電荷無遷移，且重力不計(jì)）

Answer 1

分析 根據(jù)題意明確粒子可能的運(yùn)動(dòng)情況，根據(jù)半徑的通項(xiàng)式明確半徑的可能值；再由洛侖茲力充當(dāng)向心力可求得B的條件．

解答 解：由于離子與圓筒內(nèi)壁碰撞時(shí)無能量損失和電量損失，每次碰撞后離子的速度方向都沿半徑方向指向圓心，并且離子運(yùn)動(dòng)的軌跡是對(duì)稱的，如圖所示．設(shè)粒子與圓筒內(nèi)壁碰撞n次（n≥2），則經(jīng)過n+1次圓弧后才能轉(zhuǎn)回到A點(diǎn)，設(shè)每相鄰兩次碰撞點(diǎn)之間圓弧所對(duì)的圓心角為2α=$\frac{2π}{n+1}$（這里是指磁場(chǎng)圓弧所對(duì)圓心角，而不是指軌跡圓弧所對(duì)圓心角）．
所對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)為l=2Rsinα；
因軌跡圓的圓心角與所對(duì)應(yīng)的磁場(chǎng)圓的圓心角與補(bǔ)，則可知：
2θ+2α=π；
θ=$\frac{π}{2}-α$=$\frac{（n-1）π}{2（n+1）}$；
則離子運(yùn)動(dòng)的半徑為：
r=$\frac{\frac{l}{2}}{sinθ}$=$\frac{Rsinα}{cosα}$=Rtan（$\frac{（n-1）π}{2（n+1）}$）（n=2，3，…）
則由洛侖茲力充當(dāng)向心力可得：
Bqv=m$\frac{{v}^{2}}{r}$可得：
B=$\frac{mv}{qRtan（\frac{（n-1）π}{2（n+1）}）}$（n=2，3，…）
答：要使粒子能經(jīng)碰撞后從A點(diǎn)飛出，B應(yīng)滿足$\frac{mv}{qRtan（\frac{（n-1）π}{2（n+1）}）}$（n=2，3，…）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，要注意正確分析可能的物理規(guī)律，利用幾何關(guān)系求得半徑的表達(dá)式，再由洛侖茲力充當(dāng)向心力可求得B．