Question

8．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，第Ⅰ象限存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，第Ⅳ象限以O(shè)N為直徑的半圓形區(qū)域內(nèi)存在垂直于坐標(biāo)平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，已知ON=d，一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子，從y軸正半軸上y=$\frac1hxjvbp{4}$處的M點(diǎn)，以速度v₀垂直于y軸射入電場(chǎng)，經(jīng)x軸上x=$\fracblf575v{2}$處的P點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，剛好從半圓形區(qū)域的最下端射出磁場(chǎng)，不計(jì)粒子重力，求：
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E；
（2）磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B；
（3）保持其他條件不變，假設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度可調(diào)，當(dāng)B為多大時(shí)，粒子以速度方向垂直于y軸地回到y(tǒng)軸（結(jié)果用根式表示）．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速運(yùn)動(dòng)，豎直方向做勻加速運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用牛頓第二定律與類平拋運(yùn)動(dòng)分位移公式結(jié)合，可求出電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E；
（2）作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何知識(shí)求出粒子軌道半徑，由牛頓第二定律求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B；
（3）再作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何知識(shí)求出粒子軌道半徑，由牛頓第二定律求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的大�。�

解答 解：（1）在電場(chǎng)中粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，則有
  y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$ ①
  x=v₀t  ②
加速度 a=$\frac{qE}{m}$ ③
據(jù)題y=$\frac1prrtll{4}$、x=$\fraclvtbj75{2}$，聯(lián)立得 E=$\frac{2m{v}_{0}^{2}}{qd}$
（2）設(shè)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度與水平方向的夾角為θ，豎直分速度大小為v_y．速度大小為v．
則
  y=$\frac{{v}_{y}}{2}t$ ④
由②④得 v_y=v₀，v=$\sqrt{2}{v}_{0}$ 
則有 tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=1，θ=45°
畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如右圖1所示．設(shè)粒子圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，由幾何知識(shí)有
  $\sqrt{2}$r=d ⑤
又 qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，⑥
解得 B=$\frac{2m{v}_{0}}{qd}$．
（3）粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如右2圖所示．
設(shè)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡半徑為R，由幾何關(guān)系有：∠O′PQ=∠O′QP=22.5°
則有 PQ=2Rcos22.5°
又 PQ=d
則得 R=$\frachlrphpx{2cos22.5°}$=$\frac19txzjh{2\sqrt{\frac{1+cos45°}{2}}}$=$\fraclvljpj5{\sqrt{2+\sqrt{2}}}$
由R=$\frac{mv}{qB′}$得 B′=$\frac{mv}{qR}$=$\frac{\sqrt{4+2\sqrt{2}}m{v}_{0}}{qd}$
答：
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E是$\frac{2m{v}_{0}^{2}}{qd}$；
（2）磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B是$\frac{2m{v}_{0}}{qd}$．
（3）保持其他條件不變，假設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度可調(diào)，當(dāng)B為$\frac{\sqrt{4+2\sqrt{2}}m{v}_{0}}{qd}$時(shí)，粒子以速度方向垂直于y軸地回到y(tǒng)軸．

點(diǎn)評(píng) 粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)偏轉(zhuǎn)時(shí)，常用能量的觀點(diǎn)來(lái)解決問(wèn)題，有時(shí)也要運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成與分解．粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心、半徑及運(yùn)動(dòng)時(shí)間的確定也是本題的一個(gè)考查重點(diǎn)，要正確畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，能熟練的運(yùn)用幾何知識(shí)解決物理問(wèn)題．