Question

20．如圖甲所示，有一磁感強(qiáng)度大小為B、垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)邊界OP與水平方向夾角為45°，緊靠磁場(chǎng)右上邊界放置長(zhǎng)為L(zhǎng)，間距為d的平行金屬板M、N，磁場(chǎng)邊界上的O點(diǎn)與N板在同一水平面上，O₁、O₂電場(chǎng)左右邊界中點(diǎn)．在兩板間存在如圖乙所示的交變電場(chǎng)（取豎直向下為正方向）．某時(shí)刻從O點(diǎn)豎直向上同時(shí)發(fā)射兩個(gè)相同的粒子a和b，質(zhì)量為m，電量為+q，初速度不同．粒子a在圖乙中的t=$\frac{T}{4}$時(shí)刻，從O₁點(diǎn)水平進(jìn)入板間電場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，由電場(chǎng)中的O₂點(diǎn)射出．粒子b恰好從M板左端進(jìn)入電場(chǎng)．（不計(jì)粒子重力和粒子間相互作用，電場(chǎng)周期T未知）

求：（1）粒子a、b從磁場(chǎng)邊界射出時(shí)的速度v_a、v_b；
（2）粒子a從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)到射出O₂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間；
（3）如果交變電場(chǎng)的周期T=$\frac{4m}{qB}$，要使粒子b能夠穿出板間電場(chǎng)，求則電場(chǎng)強(qiáng)度大小E₀滿(mǎn)足的條件．

Answer 1

分析 （1）求出粒子軌道半徑，應(yīng)用牛頓第二定律可以求出粒子a、b從I磁場(chǎng)邊界射出時(shí)的速度v_a、v_b．
（2）求出粒子在磁場(chǎng)中、在電場(chǎng)中、在電磁場(chǎng)外的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，然后求出總運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
（3）作出粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡，應(yīng)用類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律分析答題．

解答 解：（1）如圖所示，粒子a、b在磁場(chǎng)中均速轉(zhuǎn)過(guò)90°，平行于金屬板進(jìn)入電場(chǎng)．
由幾何關(guān)系可得：${r}_{a}=\frac{1}{2}d$，r_b=d…①
由牛頓第二定律可得
$q{v}_{a}B=\frac{m{v}_{a}^{2}}{{r}_{a}}$            …②
$q{v}_B=\frac{m{v}_^{2}}{{r}_}$    …③
解得：${v}_{a}=\frac{qBd}{2m}$，${v}_=\frac{qBd}{m}$         
（2）粒子a在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡如圖

在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)周期為：${T}_{0}=\frac{2πm}{qB}$                  …④
在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間：${t}_{1}=\frac{{T}_{0}}{4}=\frac{πm}{2qB}$              …⑤
粒子在電磁場(chǎng)邊界之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，水平方向做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，所用時(shí)間為
${t}_{2}=\frac{（\fracvx7rphz{2}+L）}{{v}_{a}}$               …⑥
由 ④⑤⑥則全程所用時(shí)間為：$t={t}_{1}+{t}_{2}=\frac{πm}{2qB}+\frac{m（d+2L）}{qBd}$
（3）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相同，a、b同時(shí)離開(kāi)Ⅰ磁場(chǎng)，a比b進(jìn)入電場(chǎng)落后時(shí)間$△t=\frac7rnz5nn{2{v}_{a}}=\frac{m}{qB}=\frac{T}{4}$                            …⑦
故粒子b在t=0時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)．
由于粒子a在電場(chǎng)中從O₂射出，在電場(chǎng)中豎直方向位移為0，故a在板間運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t_a是周期的整數(shù)倍，由于v_b=2v_a，b在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t_b=$\frac{1}{2}$t_a，可見(jiàn)b在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是半個(gè)周期的整數(shù)倍即${t}_=\frac{L}{{v}_}=n•\frac{T}{2}$       …⑧
$n=\frac{2L}{Tv}$           …⑨
粒子b在$\frac{T}{2}$內(nèi)豎直方向的位移為$y=\frac{1}{2}a（\frac{T}{2}）^{2}$      …⑩
粒子在電場(chǎng)中的加速度$a=\frac{q{E}_{0}}{m}$  
由題知$T=\frac{4m}{qB}$
粒子b能穿出板間電場(chǎng)應(yīng)滿(mǎn)足ny≤d   
解得${E}_{0}≤\frac{qnfpdr5h^{2}{B}^{2}}{mL}$
答：（1）粒子a、b從磁場(chǎng)邊界射出時(shí)的速度v_a、v_b分別是：$\frac{qBd}{2m}$和$\frac{qBd}{m}$；
（2）粒子a從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)到射出O₂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間是$\frac{πm}{2qB}+\frac{m（d+2L）}{qBd}$；
（3）如果交變電場(chǎng)的周期T=$\frac{4m}{qB}$，要使粒子b能夠穿出板間電場(chǎng)，則電場(chǎng)強(qiáng)度大小E₀滿(mǎn)足的條件${E}_{0}≤\frac{qlpnlv55^{2}{B}^{2}}{mL}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電粒子在電場(chǎng)與磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程、作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡是正確解題的關(guān)鍵，應(yīng)用牛頓第二定律、粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式、牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式即可正確解題．