Question

7．如圖所示，半徑分別為a、b的兩同心虛線圓所圍區(qū)域存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在小圓內(nèi)沿徑向存在電場(chǎng)，電場(chǎng)方向指向圓心O，小圓周與金屬球間的電勢(shì)差為U．在O處固定一個(gè)半徑很�。�可忽略不計(jì)）的金屬球，設(shè)有一個(gè)帶負(fù)電的粒子從金屬球表面沿x軸正方向以很小的初速度逸出，粒子質(zhì)量為m，電荷量為q．不計(jì)粒子的重力，忽略粒子逸出的初速度，求：
（1）粒子到達(dá)小圓周上時(shí)的速度為多大？
（2）粒子以（1）中的速度進(jìn)入兩圓間的磁場(chǎng)中，當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度超過(guò)某一臨界值時(shí)，粒子將不能到達(dá)大圓周，求此臨界值．
（3）若磁感應(yīng)強(qiáng)度取（2）中的臨界值，且b=（$\sqrt{2}$+1）a，要使粒子恰好第一次沿逸出方向的反方向回到原出發(fā)點(diǎn)，粒子需經(jīng)過(guò)多少次回旋？并求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．（設(shè)粒子與金屬球正碰后電量不變，且能以原速率原路返回）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理，通過(guò)末動(dòng)能求出加速電壓的大�。�
（2）根據(jù)洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑的表達(dá)式，要使粒子不能到達(dá)大圓周，其最大的圓半徑為軌跡圓與大圓周相切．
（3）根據(jù)題目給定的條件，畫出帶電粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，從而確定粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)φ=270°，然后沿半徑進(jìn)入電場(chǎng)減速到達(dá)金屬球表面，再經(jīng)電場(chǎng)加速原路返回磁場(chǎng)，如此重復(fù)，恰好經(jīng)過(guò)4個(gè)回旋后，沿與原出射方向相反的方向回到原出發(fā)點(diǎn)．

解答 解：（1）粒子在電場(chǎng)中加速，根據(jù)動(dòng)能定理得：$qU=\frac{1}{2}m{v^2}$，所以$v=\sqrt{\frac{2qU}{m}}$
（2）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后，受洛倫茲力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)$qvB=m\frac{v^2}{r}$，要使粒子不能到達(dá)大圓周，其最大的圓半徑為軌跡圓與大圓周相切，如圖．從而有$\sqrt{{a^2}+{r^2}}=b-r$，所以$r=\frac{{{b^2}-{a^2}}}{2b}$，故$B=\frac{2b}{{{b^2}-{a^2}}}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$．

（3）由圖可知$tanθ=\frac{r}{a}=\frac{{{b^2}-{a^2}}}{2ab}=1$，所以θ=45°．粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)270°，然后沿半徑進(jìn)入電場(chǎng)減速到達(dá)金屬球表面，再經(jīng)電場(chǎng)加速原路返回磁場(chǎng)，如此重復(fù)，恰好經(jīng)過(guò)4個(gè)回旋后，沿與原出射方向相反的方向回到原出發(fā)點(diǎn)．
因?yàn)?T=\frac{2πm}{qB}$，所以粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間$t=4×\frac{3}{4}T=\frac{{3π（{b^2}-{a^2}）}}\sqrt{\frac{m}{2qU}}$．
答：（1）粒子到達(dá)小圓周上時(shí)的速度為$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$；
（2）粒子以（1）中的速度進(jìn)入兩圓間的磁場(chǎng)中，當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度超過(guò)某一臨界值時(shí)，粒子將不能到達(dá)大圓周，此臨界值為$\frac{2b}{{{b^2}-{a^2}}}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$；
（3）要粒子恰好第一次沿逸出方向的反方向回到原出發(fā)點(diǎn)，粒子需經(jīng)過(guò)4次回旋；粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為$\frac{{3π（{b^2}-{a^2}）}}\sqrt{\frac{m}{2qU}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題粒子在有圓形邊界的磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，畫出軌跡，根據(jù)幾何知識(shí)分析臨界條件，求半徑和圓心角是常用的思路．