Question

如圖所示，在Oxy平面的第一象限和第二象限區(qū)域內(nèi)，分別存在場(chǎng)強(qiáng)大小均為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)I和Ⅱ，電場(chǎng)I的方向沿x軸正方向，電場(chǎng)Ⅱ的方向沿y軸的正方向，在第三象限內(nèi)存在著垂直于Oxy平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅲ，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（-x₀，0），已知電子的電量為-e，質(zhì)量為m（不計(jì)電子所受重力）。
（1）在第一象限內(nèi)適當(dāng)位置由靜止釋放電子，電子經(jīng)勻強(qiáng)電場(chǎng)I和Ⅱ后恰能通過(guò)Q點(diǎn)，求釋放點(diǎn)的位置坐標(biāo)x、y應(yīng)滿(mǎn)足的關(guān)系式；
（2）若要電子經(jīng)勻強(qiáng)電場(chǎng)I和Ⅱ后過(guò)Q點(diǎn)時(shí)動(dòng)能最小，電子應(yīng)從第一象限內(nèi)的哪點(diǎn)由靜止釋放？求該點(diǎn)的位置和過(guò)Q點(diǎn)時(shí)的最小動(dòng)能；
（3）在滿(mǎn)足條件（2）的情況下，若想使電子經(jīng)過(guò)Q后再次到達(dá)y，軸時(shí)離坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為x₀，求第三象限內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和方向。

Answer 1

解：（1）設(shè)電子從第一象限內(nèi)坐標(biāo)為（x，y）處由靜止釋放能過(guò)Q點(diǎn)，到達(dá)y軸時(shí)的速度v₀，由動(dòng)能定理得：
  ①
若能到達(dá)Q，則應(yīng)滿(mǎn)足  ②
x₀=v₀t  ③
  ④
聯(lián)立①②③④得  ⑤ 
（2）由動(dòng)能定理得：電子從P由靜止釋放，經(jīng)勻強(qiáng)電場(chǎng)I 和Ⅱ后過(guò)Q點(diǎn)動(dòng)能：
E_k=eE(x+y)  ⑥
而（當(dāng)x=y時(shí)取“=”）⑦
由⑤⑥⑦得： 
當(dāng)時(shí)取“=”⑧
所以電子從第一象限內(nèi)的P點(diǎn)由靜止釋放過(guò)Q 點(diǎn)時(shí)動(dòng)能最小，最小動(dòng)能是eEx₀
（3）若區(qū)域Ⅲ中的勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，則電子左偏，不會(huì)再到達(dá)y軸，所以勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向垂直紙面向外。運(yùn)動(dòng)軌跡如圖，則：

而
在滿(mǎn)足條件（2）的情況下
所以θ=45° ⑨
設(shè)在區(qū)域Ⅲ中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，到達(dá)y軸上的A點(diǎn)，結(jié)合題中條件可推知，電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡應(yīng)為以QA為直徑的半圓，OA=x₀，由幾何知識(shí)知：
  ⑩
設(shè)到達(dá)Q點(diǎn)的速度為v₁，則 
解得：
根據(jù)牛頓第二定律：，解得 
把v₁和r的值代入，第三象限內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度