Question

如圖所示，一個質量為m=0.6kg的小球，以某一初速度v₀從圖中P點水平拋出，恰好從光滑圓弧ABC的A點的切線方向進入圓弧軌道（不計空氣阻力，進入時無機械能損失），并且恰好能過最高點C．已知圓弧半徑R=0.3m，圖中θ=60°，（取g=10m/s²）試求：
（1）小球到達C點時的速度
（2）P點至A點的水平距離與豎直高度
（3）若改變拋出點的位置，仍要讓小球從A點的切線方向進入圓弧軌道并且還能過C點，問拋出點P至A的高度h與水平距離x的函數(shù)關系．

Answer 1

分析：（1）小球恰好經(jīng)過C點，重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解；
（2）先根據(jù)動能定理列式求解出A點的速度，正交分解后得到初速度和A的豎直分速度，結合平拋運動的分速度公式和分位移公式列式求解；
（3）根據(jù)平拋運動速度偏轉角正切值是位移偏轉角正切的兩倍列式求解．

解答：解：（1）小球恰好經(jīng)過C點，重力提供向心力，故：mg=m

v2

R

，解得：v=

gR

=

10×0.3

=

3

m/s；
（2）從A到C過程，根據(jù)動能定理，有：-mg（R+Rcos60°）=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 A

；
解得：vA=

v2+2gR(1+cos60°)

=

3+2×10×0.3×(1+0.5)

=2

3

m/s；
A點的水平分速度為：v_Ax=v_Asin60°=3m/s，
豎直分速度為：v_Ay=v_Acos60°=

3

m/s；
平拋運動時間：t=

vAy

g

=

3

10

s；
水平分位移為：x=v₀t=3×

3

10

=0.3

3

m；
豎直分位移為：y=

1

2

gt2=0.15m；
（3）平拋運動速度偏轉角正切值是位移偏轉角正切的兩倍，故：

h

x

=2tan60°=2

3

故h=2

3

x
答：（1）小球到達C點時的速度為

3

m/s；
（2）P點至A點的水平距離為0.3

3

m，豎直高度為0.15m；
（3）拋出點P至A的高度h與水平距離x的函數(shù)關系為h=2

3

x．

點評：本題關鍵關鍵分析清楚小球的運動規(guī)律，先平拋運動后圓周運動，然后分階段結合牛頓第二定律、動能定理、平拋運動規(guī)律列式求解，較難．