Question

如圖，豎直放置的斜面AB的下端與光滑的圓弧軌道BCD的B端相切，圓弧半徑為R，圓心與A、D在同一水平面上，∠COB=θ，現(xiàn)有一個(gè)質(zhì)量為m的小物體從斜面上的A點(diǎn)無(wú)初速滑下，已知小物體與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，求：

（1）小物體在斜面上能夠通過(guò)的路程；

（2）小物體通過(guò)C點(diǎn)時(shí)，對(duì)C點(diǎn)的最大壓力和最小壓力．

Answer 1

考點(diǎn)：

動(dòng)能定理；向心力．專題：動(dòng)能定理的應(yīng)用專題．

分析：

（1）由幾何知識(shí)得知，斜面的傾角等于θ．物體從A點(diǎn)無(wú)初速度滑下后，由于克服摩擦力做功，物體在斜面上運(yùn)動(dòng)時(shí)機(jī)械能不斷減小，到達(dá)的最大高度越來(lái)越小，最終在BE圓弧上來(lái)回運(yùn)動(dòng)，到達(dá)B點(diǎn)的速度為零．物體在斜面上運(yùn)動(dòng)時(shí)摩擦力大小為μmgcosθ，總是做負(fù)功，滑動(dòng)摩擦力做的總功與總路程成正比，根據(jù)動(dòng)能定理求解總路程．

（2）當(dāng)物體第一次經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)，速度最大，對(duì)C點(diǎn)的壓力最大，當(dāng)最后穩(wěn)定后，物體在BE之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)速度最小，物體對(duì)C點(diǎn)的壓力最小，根據(jù)動(dòng)能定理求出最大速度和最小速度，再由牛頓運(yùn)動(dòng)定律求解最大壓力和最小壓力．

解答：

解：（1）如圖，小物體最終將在以過(guò)圓心的半徑兩側(cè)θ 范圍內(nèi)即圖中EB范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)，對(duì)物體從A到B（或E）的整個(gè)過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理得

mgRcosθ﹣fs=0

又 f=μmgcosθ

解得：S=

（2）小物體第一次到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)對(duì)C點(diǎn)的壓力最大；根據(jù)牛頓第二定律得：N_max﹣mg=m

由動(dòng)能定理得：mgR﹣μmgcosθ?=

式中

解得：N_max=mg（3﹣2?cosθctgθ）

當(dāng)小物體最后在BCD′（D′在C點(diǎn)左側(cè)與B等高）圓弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)，通過(guò)C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道壓力最小．則有：N_min﹣mg=m

mgR（1﹣cosθ）=mv′²

解得：N_min=mg （3﹣2cosθ）．

答：

（1）小物體在斜面上滑行的總路程是；

（2）物體對(duì)C點(diǎn)的最大壓力為3mg﹣2μmgcosθcotθ，最小壓力為3mg﹣2mgcosθ．

點(diǎn)評(píng)：

本題是動(dòng)能定理與牛頓運(yùn)動(dòng)定律的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是分析物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，抓住滑動(dòng)摩擦力做功與路程有關(guān)這一特點(diǎn)．