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科目： 來源：2013年廣東省廣州市高考數學一模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

甲，乙，丙三位學生獨立地解同一道題，甲做對的概率為

，乙，丙做對的概率分別為m，n（m＞n），且三位學生是否做對相互獨立．記ξ為這三位學生中做對該題的人數，其分布列為：

ξ		1	2	3
P		a	b

（1）求至少有一位學生做對該題的概率；
（2）求m，n的值；
（3）求ξ的數學期望．

科目： 來源：2013年廣東省廣州市高考數學一模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是邊長為2的等邊三角形，AA₁⊥平面ABC，D，E分別是CC₁，AB的中點．
（1）求證：CE∥平面A₁BD；
（2）若H為A₁B上的動點，當CH與平面A₁AB所成最大角的正切值為

時，求平面A₁BD與平面ABC所成二面角（銳角）的余弦值．

科目： 來源：2013年廣東省廣州市高考數學一模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且 a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=（n-1）S_n+2n（n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若p，q，r是三個互不相等的正整數，且p，q，r成等差數列，試判斷a_p-1，a_q-1，a_r-1是否成等比數列？并說明理由．

科目： 來源：2013年廣東省廣州市高考數學一模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C₁的中心在坐標原點，兩個焦點分別為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），點A（2，3）在橢圓C₁上，過點A的直線L與拋物線

交于B、C兩點，拋物線C₂在點B，C處的切線分別為l₁，l₂，且l₁與l₂交于點P．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）是否存在滿足|PF₁|+|PF₂|=|AF₁|+|AF₂|的點P？若存在，指出這樣的點P有幾個（不必求出點P的坐標）；若不存在，說明理由．

科目： 來源：2013年廣東省廣州市高考數學一模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知二次函數f（x）=x²+ax+m+1，關于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m²的解集為（m，m+1），其中m為非零常數．設

．
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值時，函數φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在極值點，并求出極值點；
（3）若m=1，且x＞0，求證：[g（x+1）]ⁿ-g（xⁿ+1）≥2ⁿ-2（n∈N^*）．