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科目： 來源：2011-2012學(xué)年廣東省廣州市增城中學(xué)高三（上）綜合測試數(shù)學(xué)試卷4（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面ABB₁A₁，ACC₁A₁均為正方形，∠BAC=90°，點(diǎn)D是棱B₁C₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：A₁D⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）求證：AB₁∥平面A₁DC；
（Ⅲ）求二面角D-A₁C-A的余弦值．

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科目： 來源：2011-2012學(xué)年廣東省廣州市增城中學(xué)高三（上）綜合測試數(shù)學(xué)試卷4（理科）（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)

，數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，
（Ⅰ）求證：數(shù)列

是等差數(shù)列；
（Ⅱ）令b_n=a_n-1•a_n（n≥2），b₁=3，S_n=b₁+b₂+…+b_n，若

對一切n∈N^*成立，求最小正整數(shù)m．

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科目： 來源：2011-2012學(xué)年廣東省廣州市增城中學(xué)高三（上）綜合測試數(shù)學(xué)試卷4（理科）（解析版） 題型：解答題

已知點(diǎn)

是離心率為

的橢圓C：

上的一點(diǎn)．斜率為

的直線BD交橢圓C于B、D兩點(diǎn)，且A、B、D三點(diǎn)不重合．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）△ABD的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請說明理由？
（Ⅲ）求證：直線AB、AD的斜率之和為定值．

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科目： 來源：2011-2012學(xué)年廣東省廣州市增城中學(xué)高三（上）綜合測試數(shù)學(xué)試卷4（理科）（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=x²-x，g（x）=lnx．
（1）求證：f（x）≥g（x）；
（2）若f（x）≥ag（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的值；
（3）設(shè)F（x）=f（x）+mg（x）（m∈R）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁、x₂（x₁＜x₂）；求實(shí)數(shù)m的取值范圍，并證明：