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（08年唐山一中二模）（12分） 在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AA₁＝AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，D為側(cè)面ABB₁A₁的中心，E為BC的中點(diǎn)．

（1）求證：平面DB₁E⊥平面BCC₁B₁；

（2）求異面直線A₁B與B₁E所成的角；

（3）求點(diǎn)C₁到平面DB₁E的距離．

（08年唐山一中二模）（12分） 盒中裝有8個(gè)乒乓球，其中6個(gè)是沒(méi)有用過(guò)的，2個(gè)是用過(guò)的.

（1）從盒中任取2個(gè)球使用，求恰好取出1個(gè)用過(guò)的球的概率；

（2）若從盒中任取2個(gè)球使用，求取出的兩個(gè)球至少有一個(gè)沒(méi)用過(guò)的概率．

（08年唐山一中二模）（10分） 已知A、B、C的坐標(biāo)分別為A(4,0)、B(0.4)、C(3cosα,3sinα)

(Ⅰ)若，且．求角α的值；

(Ⅱ)若，求的值．

（08年唐山一中二模）（10分） 已知A、B、C的坐標(biāo)分別為A(4,0)、B(0.4)、C(3cosα,3sinα)

(Ⅰ)若，且．求角α的值；

(Ⅱ)若，求的值．

（06年湖南卷理）（14分）

 已知橢圓, 拋物線, 且的公共弦

過(guò)橢圓的右焦點(diǎn) .

  (Ⅰ) 當(dāng), 求的值, 并判斷拋物線的焦點(diǎn)是否在直線上;

  (Ⅱ) 是否存在的值, 使拋物線的焦點(diǎn)恰在直線上? 若存在, 求出符合條件的的值; 若不存在, 請(qǐng)說(shuō)明理由 .

（06年湖南卷理）（14分）

對(duì)1個(gè)單位質(zhì)量的含污物體進(jìn)行清洗, 清洗前其清潔度(含污物體的清潔度定義為:

為, 要求清洗完后的清潔度為.  有兩種方案可供選擇, 方案甲: 一次清洗;   方案乙: 分兩次清洗. 該物體初次清洗后受殘留水等因素影響, 其質(zhì)量變?yōu)?IMG height=21 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090331/20090331203646004.gif' width=79>. 設(shè)用單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是, 用單位質(zhì)量的水第二次清洗后的清潔度是,

其中是該物體初次清洗后的清潔度.

(Ⅰ)分別求出方案甲以及時(shí)方案乙的用水量, 并比較哪一種方案用水量較少;

(Ⅱ)若采用方案乙, 當(dāng)為某固定值時(shí), 如何安排初次與第二次清洗的用水量, 使總用水量最小? 并討論取不同數(shù)值時(shí)對(duì)最少總用水量多少的影響.

（06年湖南卷理）（14分）

 已知函數(shù), 數(shù)列滿足: ,

   證明 (Ⅰ)  ;  

(Ⅱ)  .

（06年湖南卷理）（14分）

 已知函數(shù), 數(shù)列滿足: ,

   證明 (Ⅰ)  ;  

(Ⅱ)  .

如圖4, 已知兩個(gè)正四棱錐的高分別為1和2,

(Ⅰ) 證明:  ;    

(Ⅱ) 求異面直線AQ與PB所成的角;

(Ⅲ) 求點(diǎn)到平面的距離.

（06年湖南卷）（14分）

如圖4, 已知兩個(gè)正四棱錐的高分別為1和2,

(Ⅰ) 證明:  ;     (Ⅱ) 求異面直線所成的角;

(Ⅲ) 求點(diǎn)到平面的距離.