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已知函數(shù)f(x)=

1-2x

1+2x

，x∈R．
（1）判斷并證明函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）求函數(shù)f（x）的值域．

設f（x）為定義在R上的增函數(shù)，令g（x）=f（x）-f（2014-x）．
（1）求證：g（x）+g（2014-x）是定值．
（2）判斷g（x）在R上的單調(diào)性，并證明．
（3）若g（x₁）+g（x₂）＞0，求證：x₁+x₂＞2014．

設f（x）為定義在R上的增函數(shù)，令g（x）=f（x）-f（2008-x）
（1）求證：g（x）+g（2008-x）是定值．
（2）判斷g（x）在R上的單調(diào)性；并證明．
（3）若g（x₁）+g（x₂）＞0，求證：x₁+x₂＞2008．

已知某企業(yè)原有員工2000人，每人每年可為企業(yè)創(chuàng)利潤3.5萬元．為應對國際金融危機給企業(yè)帶來的不利影響，該企業(yè)實施“優(yōu)化重組，分流增效”的策略，分流出一部分員工待崗．為維護生產(chǎn)穩(wěn)定，該企業(yè)決定待崗人數(shù)不超過原有員工的5%，并且每年給每位待崗員工發(fā)放生活補貼0.5萬元，據(jù)評估，若待崗員工人數(shù)為x，則留崗員工每人每年可為企業(yè)多創(chuàng)利潤（1-

81

100x

）萬元．為使企業(yè)年利潤最大，應安排多少員工待崗？

在一條直線型的工藝流水線上有3個工作臺，將工藝流水線用如圖2-19所示的數(shù)軸表示，各工作臺的坐標分別為x₁，x₂，x₃，每個工作臺上有若干名工人．現(xiàn)要在x₁與x₃之間修建一個零件供應站，使得各工作臺上的所有工人到供應站的距離之和最短．
（1）若每個工作臺上只有一名工人，試確定供應站的位置；
（2）設從左到右工作臺上的工人人數(shù)依次為2，1，3，試確定供應站的位置，并求所有工人到供應站的距離之和的最小值．

已知定義域為R的奇函數(shù)f（x），當x＞0時，f（x）=ln x-ax+1（a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)y=f（x）在R上恰有5個零點，求實數(shù)a的取值范圍．

已知奇函數(shù)f（x）在區(qū)間[a、b]（0＜a＜b）上是減函數(shù)，那么在[-b，-a]上，f（x）是增函數(shù)還
是減函數(shù)，證明你的結論．

某省環(huán)保研究所對市中心每天環(huán)境放射性污染情況進行調(diào)查研究后，發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合放射性污染指數(shù)f（x）與時刻x（時）的關系為f（x）=|

x

x2+1

-a|+2a+

2

3

，x∈[0，24]，其中a是與氣象有關的參數(shù)，且a∈[0，

1

2

]．
（1）令t=

x

x2+1

，x∈[0，24]，直接寫出t的取值范圍；（可以不要寫演算寫過程）
（2）若用每天f（x）的最大值作為當天的綜合放射性污染指數(shù)，并記作M（a），求M（a）；
（3）省政府規(guī)定，每天的綜合放射性污染指數(shù)不超過2稱為“環(huán)保達標”，試問a應控制在什么范圍內(nèi)才能“環(huán)保達標”？

由于濃酸泄漏對河流形成了污染，現(xiàn)決定向河中投入固體堿．1個單位的固體堿在水中逐步溶化，水中的堿濃度y（個濃度單位）與時間x（個時間單位）的關系為y=

- 24 x+3 -x+8，   0≤x≤ 3 2 23 12 - 1 2 x   ，       3 2 ＜x≤ 23 6

．只有當河流中堿的濃度不低于1（個濃度單位）時，才能對污染產(chǎn)生有效的抑制作用．
（1）如果只投放1個單位的固體堿，則能夠維持有效抑制作用的時間有多長？
（2）當河中的堿濃度開始下降時，即刻第二次投放1個單位的固體堿，此后，每一時刻河中的堿濃度認為是兩次投放的堿在該時刻相應的堿濃度的和，求河中堿濃度可能取得的最大值．

如圖一塊長方形區(qū)域ABCD，AD=2（km），AB=1（km）．在邊AD的中點O處，有一個可轉(zhuǎn)動的探照燈，其照射角∠EOF始終為

π

4

，設∠AOE=α，探照燈O照射在長方形ABCD內(nèi)部區(qū)域的面積為S．
（1）當0≤α＜

π

2

時，寫出S關于α的函數(shù)表達式；
（2）若探照燈每9分鐘旋轉(zhuǎn)“一個來回”（OE自OA轉(zhuǎn)到OC，再回到OA，稱“一個來回”，忽略OE在OA及OC反向旋轉(zhuǎn)時所用時間），且轉(zhuǎn)動的角速度大小一定，設AB邊上有一點G，且∠AOG=

π

6

，求點G在“一個來回”中，被照到的時間．