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已知函數(shù)f(x)=

x

1+x2

的定義域?yàn)椋?1，1）．求：
（I）判斷并證明f（x）在定義域內(nèi)的單調(diào)性；
（Ⅱ）解關(guān)于t的不等式f(t-

1

2

)+f(t)＜0．

（1）設(shè)U=R，A={x|x≥1}，B={x|0＜x＜5}，求（?_UA）∪B和A∩（?_UB）．
（2）若偶函數(shù)f（x）在（-∞，0]上為增函數(shù)，求滿足f（1）≤f（a）的實(shí)數(shù)a的取值范圍．

已知函數(shù)f（x）是R上的偶函數(shù)．
（1）證明：f（x）=f（|x|）
（2）若當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）是單調(diào)函數(shù)，求滿足f(x)=f(

x+3

x+4

)的所有x之和．

已知函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間[-1，1]上的奇函數(shù)，且f（1）=1，若對(duì)于任意的m、n∈[-1，1]有

f(m)+f(n)

m+n

＞0．
（1）判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；
（2）解不等式f(x+

1

2

)＜f(1-x)；
（3）若f（x）≤-2at+2對(duì)于任意的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

若函數(shù)f（x）同時(shí)滿足下列兩個(gè)性質(zhì)，則稱其為“規(guī)則函數(shù)”
①函數(shù)f（x）在其定義域上是單調(diào)函數(shù)；
②在函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)存在閉區(qū)間[a，b]使得f（x）在[a，b]上的最小值是

a

2

，且最大值是

b

2

．
請(qǐng)解答以下問題：
（Ⅰ） 判斷函數(shù)f（x）=x²-2x，（x∈（0，+∞））是否為“規(guī)則函數(shù)”？并說明理由；
（Ⅱ）判斷函數(shù)g（x）=-x³是否為“規(guī)則函數(shù)”？并說明理由．若是，請(qǐng)找出滿足②的閉區(qū)間[a，b]；
（Ⅲ）若函數(shù)h(x)=

x-1

+t是“規(guī)則函數(shù)”，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=f（x-1），且當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f(x)=

2x-1

2x+1

．
（Ⅰ）求f（x）在[-1，1]上的解析式；
（Ⅱ）若存在x∈（0，1），滿足f（x）＞m，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

對(duì)于函數(shù)f(x)=

1

3x+1+3

+a，a∈R
（1）探索函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)？

已知函數(shù)f(x)=

1

2x-1

+

a

2

．
（1）求f（x）的定義域；
（2）若f（x）是奇函數(shù)，求a的值．

已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=2x+x²，求f（x）在R上的解析式，并分別指出f（x）的增區(qū)間、減區(qū)間．

設(shè)f（x）是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，f（x）=x（1+x），求f（x）在（-∞，0）上的表達(dá)式和在R上的表達(dá)式．