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用數(shù)學(xué)歸納法證明：（cosα+isinα）ⁿ=cosnα+isinnα，（其中i為虛數(shù)單位）

用數(shù)學(xué)歸納法證明等式：

12

1×3

+

22

3×5

+…+

n2

(2n-1)(2n+1)

=

n2+n

4n+2

對于一切n∈N₊都成立．

通過計算可得下列等式：
2²-1²=2×1+1；
3²-2²=2×2+1；
4²-3²=2×3+1；
…；
（n+1）²-n²=2n+1
將以上各式相加得：（n+1）²-1²=2×（1+2+3+…+n）+n
所以可得：1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

．
類比上述求法：請你求出1³+2³+3³+…+n³的值．（提示：12+22+32+…+n2=

n(n+1)(2n+1)

6

）

一張矩形紙片，剪下一個正方形，剩下一個矩形，稱為第一次操作；在剩下的矩形紙片中再剪下一個正方形，剩下一個矩形，稱為第二次操作；…；若在第n次操作后，剩下的矩形為正方形，則稱原矩形為n階奇異矩形．如圖1，矩形ABCD中，若AB=2，BC=6，則稱矩形ABCD為2階奇異矩形．
（1）判斷與操作：
如圖2，矩形ABCD長為5，寬為2，它是奇異矩形嗎？如果是，請寫出它是幾階奇異矩形，并在圖中畫出裁剪線；如果不是，請說明理由．
（2）探究與計算：
已知矩形ABCD的一邊長為20，另一邊長為a（a＜20），且它是3階奇異矩形，請畫出矩形ABCD及裁剪線的示意圖，并在圖的下方寫出a的值．
（3）歸納與拓展：
已知矩形ABCD兩鄰邊的長分別為b，c（b＜c），且它是4階奇異矩形，求b：c（直接寫出結(jié)果）．

已知集合S中的元素是正整數(shù)，且滿足命題“如果x∈S，則（10-x）∈S”；
（1）分別寫出只有二個元素的集合S和只有三個元素的集合S；
（2）集合S共有多少個？

設(shè)數(shù)列{an}滿足an+1=an2-nan+1，a₁=2，n∈N^*．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄并由此猜想出a_n的一個通項公式；
（Ⅱ）證明由（Ⅰ）猜想出的結(jié)論．

設(shè)關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)f（n）=1•2²+2•3²+…n（n+1）²
（1）求f（1），f（2），f（3）；
（2）是否存在常數(shù)a，b，c使得f（n）=

n(n+1)

12

(an2+bn+c)對一切自然數(shù)n都成立？并證明你的結(jié)論．

如圖，用四根垂直于地面的立柱支撐著一個平行四邊形的遮陽棚，可測得其中三根立柱AA₁、BB₁、CC₁的長度分別為2m、2.5cm、4cm，則立柱DD₁的長度應(yīng)該是（　�。�

將正整數(shù)1，2，3，4，…，n²（n≥2）任意排成n行n列的數(shù)表．對于某一個數(shù)表，計算各行和各列中的任意兩個數(shù)a，b（a＞b）的比值

a

b

，稱這些比值中的最小值為這個數(shù)表的“特征值”．
（1）當(dāng)n=2時，試寫出排成的各個數(shù)表中所有可能的不同“特征值”；
（2）若a_ij表示某個n行n列數(shù)表中第i行第j列的數(shù)（1≤i≤n，1≤j≤n），且滿足aij=

i+(j-i-1)n，i＜j i+(n-i+j-1)n，i≥j

請分別寫出n=3，4，5時數(shù)表的“特征值”，并由此歸納此類數(shù)表的“特征值”（不必證明）；
（3）對于由正整數(shù)1，2，3，4，…，n²排成的n行n列的任意數(shù)表，若某行（或列）中，存在兩個數(shù)屬于集合{n²-n+1，n²-n+2，…，n²}，記其“特征值”為λ，求證：λ≤

n+1

n

．

對于數(shù)列{A_n}：A₁，A₂，A₃，…，A_n，若不改變A₁，僅改變A₂，A₃，…，A_n中部分項的符號，得到的新數(shù)列{a_n}稱為數(shù)列{A_n}的一個生成數(shù)列．如僅改變數(shù)列1，2，3，4，5的第二、三項的符號可以得到一個生成數(shù)列1，-2，-3，4，5．已知數(shù)列{a_n}為數(shù)列{

1

2n

}(n∈N*)的生成數(shù)列，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和．
（1）寫出S₃的所有可能值；
（2）若生成數(shù)列{a_n}滿足：S3n=

1

7

(1-

1

8n

)，求{a_n}的通項公式；
（3）證明：對于給定的n∈N^*，S_n的所有可能值組成的集合為：{x|x=

2m-1

2n

，m∈N*，m≤2n-1}．