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（2011•廣州模擬）（極坐標與參數(shù)方程選做題）
在極坐標系中，點A的坐標為(2

2

，

π

4

)，曲線C的方程為ρ=2cosθ，則OA（O為極點）所在直線被曲線C所截弦的長度為．

已知f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-2，e≈2.718285．
（I）求函數(shù)f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最小值；
（II）存在x₀∈[1，e]，使得f（x₀）≥g（x₀）成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（III）證明：對一切x∈（0，+∞），都有lnx＞

1

ex

-

1

x

成立．

如圖所示，點A（p，o）（p＞0），點R在y軸上運動，點T在x軸上，N為動點，且

RT

•

RA

=0，

RN

+

RT

=0．
（I）設(shè)動點N的軌跡為曲線C，求曲線C的方程；
（II）設(shè)P，Q是曲線C上的兩個動點，M（x₀，y₀）是曲線C上一定點，若

PM

•

QM

=0，試證明直線PQ經(jīng)過定點，并求出該定點的坐標．

已知x軸上有一點列P₁，P₂，P₃，…，P_n，…，且當n≥2時，點P_n是把線段P_n-1P_n+1作n等分的分點中最靠近P_n+1的點，設(shè)線段P₁P₂，P₂P₃，…，P_nP_n+1的長度分別為a₁，a₂，a₃，…，a_n，其中a₁=1．
（I）寫出a₂，a₃和a_n（n≥2，n∈N^*）的表達式；
（II）記bn=

an+3

an

(n∈N*)，證明：b1+b2+b3+…+bn＜

1

4

(n∈N*)．

箱中裝有12張大小、質(zhì)量一樣的卡片，每張卡片正面分別標有1到12中的一個號碼，正面號碼為n的卡片反面標的數(shù)字是n²-9n+22，卡片正反面用顏色區(qū)分．
（I）如果任意取出一張卡片，求正面數(shù)字不大于反面數(shù)字的概率；
（II）如果有放回地抽取三張卡片，用X表示三張中正面數(shù)字不大于反面數(shù)字的張數(shù)求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
（III）如果同時取出兩張卡片，在正面數(shù)學(xué)無3的倍數(shù)的情況下，試求他們反面數(shù)字相同的概率．

如圖，AB⊥平面BCD，AB=BC=BD=2，DE∥AB，DE=1，∠CBD=60°，F(xiàn)為AC的中點．
（I）求點A到平面BCE的距離；
（II）證明：平面ABC⊥平面ACE；
（III）求平面BCD與平面ACE所成二面角的大�。�

下面有關(guān)四面體的命題：
①每一個四面體都有唯一的外接球；
②每一個四面體都有唯一的內(nèi)切球；
③每一個四面體都有唯一的與其六條棱都相切的球；
④任何一個三棱柱都可以分解成三個等體積的四面體；
⑤對任意一個四面體，存在一個頂點，使得從該點出發(fā)的三條棱作為邊長可以構(gòu)成一個三角形．
其中正確命題的序號是．

如圖，在海中一燈塔D的周圍有兩個觀察站A和C．已知觀察站A在燈塔D的正北5海里處，觀察站C在燈塔D的正西方．海面上有一船B，在A點測得其在南偏西60°方向4海里處，在C點測得其在北偏西30°方向上．
（I）求兩觀測點A與C的距離；
（II）設(shè)∠BCA=θ，求cos（θ-45°）